3- §. To‘plamlar algebrasi

3.2. Ekvivalent tasdiqlar. To‘plamlar algebrasining asosiy qonunlariga qo‘shimcha quyidagi teoremani keltiramiz.
12- teorema. Ixtiyoriy va to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlar ekvivalentdir:
1) ; 2) ; 3) .
Isboti. 1. Teoremaning 1) tasdig‘i o‘rinli bo‘lsin. U holda munosabat to‘g‘rligini isbotlaymiz. Avvalo, to‘plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko‘ra, bo‘ladi. Endi to‘plamning ixtiyoriy elementini bilan belgilaymiz. U holda . Demak, to‘plamlarning kesishmasi ta’rifiga ko‘ra, , ya’ni . Shunday qilib, va bo‘lganidan o‘rinlidir.
2. bo‘lishini isbotlash uchun, avvalo, ifodadagi to‘plamning o‘rniga unga teng bo‘lgan to‘plamni qo‘yib, ifodani hosil qilamiz. So‘ngra, bu ifodaga birlashmaga nisbatan distributivlik qonunini qo‘llab, ifodani hosil qi’lamiz. Idempotentlik qonuniga asosan o‘rinlidir. Shuning uchun ifodani ko‘rinishda yozish mumkin. Oxirgi ifoda yutilish qonuniga asosan ga teng. Demak, .
3. munosabatni tekshiramiz. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni tenglik o‘rinli bo‘lsada, to‘plam to‘plamning qism to‘plami bo‘lmasin. U holda to‘plam tarkibida to‘plamga tegishli bo‘lmagan hech bo‘lmasa bitta element topiladi, ya’ni va . To‘plamlarning birlashmasi ta’rifiga asosan bo‘lganidan munosabat o‘rinlidir. tenglikdan kelib chiqadi. Hosil bo‘lgan ziddiyat, ya’ni, ham ham bo‘lishi qilgan farazimizning noto‘g‘riligini isbotlaydi. Demak. tenglikdan munosabat kelib chiqadi. ■


Muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Yuqorida isbotlangan teoremalardan mumkin qadar kam foydalangan holda quyidagi tengliklarni isbot qiling:
   

a) ;
b) ;

2. 
   universal to‘plamning va qism to‘plamlari bo‘lsin. Quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
   

a) ixtiyoriy to‘plam uchun ;
b) ixtiyoriy to‘plam uchun ;
d) agar va bo‘lsa, u holda va bo‘ladi.

3. 
   Quyidagi tengliklarni isbot qiling:
   

a) ;
b) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) ;
m) ;
n) .

4. 
   Ixtiyoriy va to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlarning o‘rinli bo‘lishini ko‘rsating:
   

a) ;
b) – a) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
d) .

5. 
   Ushbu paragrafda isbotlangan teoremalardagi tengliklarni tahlil qiling va o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma) bo‘ladidan tengliklarlarni aniqlang.
   
6. 
   , , va bo‘lsa, , , va sonlarni solishtiring.