3-amaliyot mashg`ulotlar. Yevklid fazosi. Ortogonallishtirish jarayoni. Evklid fazolari ta’rifi

1-natija. Har qanday separabel Evklid fazosida sanoqli ortonormal bazis mavjud.
Isbot. - Evklid fazosining hamma yerida zich sanoqli to‘plam bo‘lsin. Undan chiziqli bog‘langan elementlarni chiqarib tashlab, qolgan sistemaga ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, ortonormal bazisni hosil qilamiz.
Bessel tengsizligi.
Bizga - o‘lchamli Evklid fazosi va uning ortonormal bazisi berilgan bo‘lsin. U holda ixtiyoriy elementni
(1)
yoyilma ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda .
Bu yoyilmani cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari uchun qanday umumlashtirish mumkinligini ko‘rib chiqamiz. Bizga Evklid fazosining
(2)
ortonormal sistemasi va ixtiyoriy elementi berilgan bo‘lsin. elementga
(3)
sonlar ketma-ketligini mos qo‘yamiz va sonlarni elementning koordinatalari yoki sistemadagi Fure koeffitsiyentlari deb ataymiz.
(4)
formal qatorni esa elementning ortonormal sistema bo‘yicha Fure qatori deb ataymiz.
Quyidagicha savol tug‘iladi. (4) qator yaqinlashuvchimi? Ya’ni qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi

biror elementga yaqinlashadimi? Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (4) qatorning yig‘indisi ga teng bo‘ladimi?
Bu savollarga javob berish uchun quyidagi masalani qaraymiz. Berilgan natural son uchun koeffitsiyentlarni shunday tanlash kerakki, va
(5)
yig‘indi orasidagi masofa minimal bo‘lsin. Bu masofa kvadratini hisoblaymiz. (2) ortonormal sistema bo‘lgani uchun

Bu ifoda
(6)
bo‘lgan holda minimumga erishadi. Bu holda
(7)
Biz isbotladikki, (5) ko‘rinishdagi yig‘indilar ichida elementdan Fure qatorining

qismiy yig‘indisi eng kam chetlanar ekan.
Bu tasdiqning geometrik ma’nosi shundan iboratki,

vektor vektorlarning barcha chiziqli kombinatsiyalariga ortogonal, ya’ni element vektorlardan hosil bo‘lgan qism fazoga ortogonal bo‘lishi uchun (6) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
bo‘lgani uchun (7) tenglikka ko‘ra
.
Bu tengsizlik ixtiyoriy uchun o‘rinli, shunday ekan,

qator yaqinlashuvchi va
. (8)
So‘nggi (8) tengsizlik Bessel tengsizligi deyiladi.