3. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari, samaradorligi

aniq integralni:

1. 
   to‘g’ri to‘rtburchak formulasi bilan;
   
2. 
   trapetsiyalar formulasi bilan;
   
3. 
   Simpson formulasi bilan
   

bo‘linishlar soni 10 bo‘lganda hisoblang va xatoliklarni baholang.
Yechish.
Integral chegaralari [a,b] oraliqni bo‘luvchi qadami
h=(b-a)/n=(3.5-2)/10=0.15
bo‘lganda, bo‘linish nuqtalari x_i=a+ih, i=1,…,10 o‘lsa, nuqtalarni [2,3.5] oraliqda aniqlab, bu nuqtalarda integral ostidagi funktsiya qiymatlarini topamiz.
x₀=2.00
x₁=2.15
x₂=2.30 y₂=f(8.30)=0.3350
x₃=2.45 y ₃=f(7.15)=0.3371
x₄=2.60 y₄=f(8.60)=0.3402
x₅=2.75 y ₅=f(8.75)=0.3443
x₆=2.90 y ₆=f(8.90)=0.3494
x₇=3.05 y ₇=f(3.05)=0.3558
x₈=3.20 y ₈=f(3.20)=0.3637
x₉=3.35 y ₉=f(3.35)=0.3733
x₁₀=3.50 y ₁₀=f(3.50)=0.3849
Yuqoridagi x va y qiymatlariga ko‘ra
1) o‘ng to‘g’ri to‘rtburchaklar formulasiga asosan:
=0.15(0.3338+0.3350+0.3371+0.3402+0.3443+0.3494+ +0.3558+0.3637+0.3733+0.3849)=0.5276;
2) Trapetsiyalar formulasiga asosan:
=0.15( +0.3338+0.3350+0.3371+0.3402+ +0.3443+0.3494+0.3558+0.3637+0.3733)=0.15*3.4917=0.523;
3)Simpson formulasiga asosan:
[0.3333+0.3849+4(0.3338+0.3371+0.3443+0.3558+ +0.3733)+2(0.3350+0.3402+0.3494+0.3637)]=0.05(0.7182+4*1.7493+ +2*1.3883)=0.05*10.4720=0.5236.

1. 
   To‘g’ri to‘rtburchaklar formulasi xatoligini bahosi:
   

2) Trapetsiyalar formulasi xatoligining bahosi:

3) Simpson formulasi xatoligining bahosi:


Buni qaralayotgan integralning aniq qiymati bo‘lgan soni bilan taqqoslash natijasi ham tasdiqlaydi. Haqiqatan ham (0.0001 aniqlikda) deb olsak integralning aniq qiymatining 0.0001 aniqlikdagi qiymati 0.5236 bo‘lishini ko‘ramiz, bu esa yuqorida Simpson formulasi yordamida olingan taqribiy qiymat bilan bir xildir.
Olingan xatoliklarni baholashlardan ko‘rinadiki, Simpson formulasining aniqligi sezilarli yuqori ekan.
Aniq integralni yuuqoridagi usullar asosida kam’g’yuterda taqribiy hisoblashning dasturlarini beramiz:
Aniq integralni to'gri to'rtburchak usulida xisoblash dasturi :

C++ dagi kodi #include using namespace std; int a, n, i; float z, EPS, h, s, x, b; float funk(float y){ return (1/(sqrt(5+4*y-y*y))); } int main(){cout << "Aniq integralni to'gri to'rtburchak usulida xisoblash dasturi : \n"; n=10, a=2, b=3.5, EPS=0.1; ga: h=(b-a)/n; s=0; for(int i=1; i<=n; ++i) { x=a+h*i; s=s+funk(x); } s*=h; if (n!=10) goto gc; gb: n=n+10; z=s; goto ga; gc: if (abs(s-z)>EPS) goto gb; n=n-10; h=(b-a)/n; for (int i=0; i{ x=a+h*i; cout<< "x= " << x << " f("<} cout<<"integralning qiymati : s="<< s ; return 0; }

2. Aniq integralni trapetsiya usulida hisoblash dasturlari: