3. Integrallarni taqribiy hisoblash usullari, samaradorligi

Trapetsiyalar formulasi

Bu formulani olish uchun kesmani h=(b-a)/n qadam bilan n ta bo‘laklarga bo‘lish natijasida hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya har bir bo‘lakchasining yuzini, 7.3-rasmdagidek, trapetsiyalar yuzi bilan taqribiy almashtiriladi.

2.3-rasm

Olingan taqribiy qiymatlarni jamlash natijasida

(2.4)

taqribiy formulani olamiz. Bu trapetsiyalar formulasidir.

Simpson formulasi

Parabolalar (Simpson) formulasi bilan aniq integralni hisoblashni o‘rganamiz.
[a,b] kesmani h=(b-a)/2n qadam bilan 2n ta juft bo‘laklarga ajratamiz. Bo‘linish nuqtalari
x₁, x₂, x₃,…, x_2n-1

Bo‘lganda bu nuqtalarda integral ostidagi funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz::

Integral ostidagi f(x) funktsiyani parabola funkiyasi bilan almashtirishda Nyutonning interpolyatsiya formulasi asosida nuqtalarga qurilgan parabolaning quyidagi interpolyatsiya ko‘phadidan foydalanamiz:


bu yerda , ekanligdan interpolyatsiya ko‘phadi quyidagicha yozamimz:

Bu holda kesmada f(x) interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz:
(*)
bu yerda lar x ga bog’liq emas. Integralni undagi qo‘shiluvchilar integrallarini alohida integrallash bilan topamiz:
1)
2) ikkinchi va uchinchi qo‘shiluvchilarni integrallashda quyidagicha almashtirish qilamiz:
dan
Bu holda
,

Demak (*) integralning qiymati


SHuningdek dagi integrallarni topamiz:


. . . . .

Bu integrallarni qo‘shish bilan [a, b] kesmadagi integralni topamiz:


taqribiy formulaga ega bo‘lamiz, bu Simpson formulasi deb yuritiladi.