4-Ma’ruza. Chegaraviy masalalarni yechish usullari

Chegaraviy masalalar

1. 
   Masalani qo’yilishi .
   

Chegaraviy masalan- bu

_{ }= _{ }(x,_{ }) 1 ≤ k ≤ p, (1)

Sistemaning _{ } kesmada bittadan ko’p nuqtasida qo’shimcha shartlar qo’yilgan xususiy echimni topishdan iborat .Chegaraviy masalalarning turli bo’lishlariga qaramasdan ular asosan bitta sonli metod yordamida echiladilar .

Chegaraviy masalalarni sonli echishga otishma va ayirmali metodlarni qo’llaydilar .Otishma metodi,bu chegaraviy masalani shu sistema uchun koshi masalasiga olib kelishdan iborat .

Ayirmali metodda esa chegaraviy masala ,tartibi juda kata bo’lgan algebraic tenglamalar sistemasiga olib kelinadi .(noma’lumlar to’r nuqtalaridagi echimning qiymatlaridan iborat )

Masalani chiziqlimas bo’lgan holda har ikkala metod ham iteratsion metoddan iborat .

2. 
   Otishma metodi
   

Bu chegaraviy masalani xuddi o’sha sistema uchun Koshi masalasiga keltirishdan iborat .

Bu metodni chegaraviy shartlarini etarlicha umumiy bo’lgan ikkita

_{ },_{ }

Differensial tenglamalar sistemasi misolida qaraymiz ._{ }

Ixtiyoriy qiymatni tanlab olib _{ } chap shartni algebraik tenglama sifatida qarab uni qanoatlantiradigan _{ } qiymatni topamiz

_{ }=ɳ , v(a) = 𝛏 Qiymatlarini (2) sistemaga qo’yib koshi masalasining boshlang’ich shartlari sifatida qarab ,Koshi masalasini istalgan sonli metod yordamida echamiz . 𝛏 qiymat shunday tanlanganki topilgan echim chap chegaraviy shartni qanoatlantiradi . Ammo bu echim o’ng chegaraviy shartni qanoatlantirmaydi, uni o’ng chegarviy shartining chap tomonini ɳ-ning funksiya sifatida qarasak :

Ѱ _{ }

Umuman aytganda nolga aylanmaydi . Lekin, agar _{ }tenglamani yechsak, unda qiymat aniqlanadi. Bu algebraik tenglamani istalgan sonli metod yordamida echish mumkin. Lekin funksiyaning har bir yangi qiymatini topish (2) – sistemani sonli echishni talab qiladi . Shu sababli tenglama ildizlarini tez topadigan metodni qo’llash maqsadga muofiq.