4-ma’ruza. Funksional qatorlar. Asosiy tushunchalar. Funksional qatorlarni differensiallash va integrallash

Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali.

Darajali qator

ning yaqinlashishi hamda uzoqlashishi nuqtalari to‘plami quiyidagicha bo‘lishi mumkin.
1). Har qanday darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi. (Chunki bu holda bo‘lib, da chekli limitga ega.)
Shunday darajali qator borki, u faqat bitta nuqtaga yaqinlashadi. Masalan,

qator faqat nuqtada yaqinlashadi. Bunday holda qatorning yaqinlashuvchi nuqtadagi to‘plami bir elementli to‘plamdir.
2) Shunday darajali qatorlar borki, ular ixtiyoriy nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Masalan,

qator ixtiyoriy da yaqinlashuvchi.
Bunday holda darajali qatorning yaqinlashishi nuqtalar to‘plami bo‘ladi.
3) Shunday darajali qatorlar borki, u biror nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada uzoqlashuvchi bo‘ladi. Masalan,

darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada uzoqlashuvchi.
Bunday holda, avvalo

bo‘ladi. Keyin, Abel teoremasi va uning natijasiga ko‘ra tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda qator yaqinlashuvchi, ya’ni intervalda qator yaqinlashuvchi; tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda qator uzoqlashuvchi, ya’ni to‘plamda uzoqlashuvchi bo‘ladi (3- chizma).



3-chizma
Endi ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonni olaylik. Bu nuqtada (1) darajali qator quiydagi

sonli qatorga aylanadi.
Agar bu sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda Abel teoremasiga ko‘ra darajali qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda yaqinlashuvchi, ya’ni darajali qator da yaqinlashuvchi bo‘ladi .
Agar sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda natijaga ko‘ra darajali qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda uzoqlashuvchi, ya’ni to‘plamda uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Endi

sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lganda bilan sonlari orasiga, qator uzoqlashuvchi bo‘lganda bilan sonlar orasida joylashgan biror sonni olib, uni deylik. So‘ng ushbu

sonli qatorni qaraymiz.
Yuqoridagi mulohazalarni takrorlab va bu jarayonni davom etirib

sonlar ketma--ketligini hosil qilamiz. Bu ketma ketlik – chekli limitga ega bo‘ladi. Uni bilan belgilaymiz.

Ravshanki, bo‘ladi.
Natijada (1) darajali qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda yaqinlashuvchi, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda uzoqlanuvchi bo‘ladi.