4-ma’ruza. Funksional qatorlar. Asosiy tushunchalar. Funksional qatorlarni differensiallash va integrallash

1-ta’rif. Yuqoridagi  son (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi, interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi.
Eslatma
Agar darajali qator faqat bitta nuqtada yaqinlasuvchi bo‘lsa, bu qatorning yaqinlashish radiusi deb, agar darajali qator barcha nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa, bu qatorning yaqinlashish radiusi deb qaraladi.
Endi darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish imkonini beradigan teoremani keltiramiz.
1-teorema Aytaylik (1) darajali qator berilgan bo‘lsin. Bu qator uchun

bo‘lib, – chekli son, bo‘lsa, u holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi

bo‘ladi.
 (1) qator hadlarning absolyut qiymatidan tuzilgan ushbu
(2)
qatorni olib, unga Dalamber alomatini qo‘llaymiz:

Ravshanki, (2) qator ya’ni

da yaqinlashuvchi, (2) qator , ya’ni

da uzoqlashuvchi bo‘ladi. Demak, (1) qator da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bo‘lib, undan (1) qatorning yaqinlashish radiusi ekanligi kelib chiqadi.
Eslatma. (1) darajali qator nuqtalarda yaqinlashuvchi bo‘lishi ham mumkin, uzoqlashuvchi bo‘lishi ham mumkin. Uni qo‘shimcha tekshirish bilan aniqlanadi.
Misol. Ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali topilsin.
Ravshanki,

bo‘lib,

bo‘ladi. Demak berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yaqinlashish integvali .
Agar bo‘lsa, berilgan qator ushbu

ko‘rinishida bo‘lib, u (garmonik qator bo‘lgani uchun) uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, berilgan qator ushbu

ko‘rinishda bo‘lib, u (Leybnits teoremasiga ko‘ra) yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Demak, berilgan darajali qatorning yaqinlanish sohasi
Nazorat savollari

1. 
   Darajali qatorlar nima?
   
2. 
   Abel teoremasi nima?
   
3. 
   Darajali qatorning yaqinlashish radiusi qanday aniqlanadi?
   
4. 
   Darajali qatorning yaqinlashish intervali qanday aniqlanadi?