4 ma’ruza. Vektorlar va matritsalar bilan ishlash

4 - MA’RUZA. VEKTORLAR VA MATRITSALAR BILAN ISHLASH

Reja:

1. 
   Vektor va matritsalarni shakllantirish
   
2. 
   Chiziqli algebra masalalarini yechish
   
3. 
   Matritsalar ustida elementar amallar bajarish
   

Nazariy qism

Vektor va matritsalarni shakllantirish. Matlab tizimi massivlar ya’ni matritsalar va vektorlar bilan murakkab hisoblashlarni bajarish uchun maxsus mo‘ljallangan tizim hisoblanadi. Har bir berilgan o‘zgaruvchi bu vektor yoki matritsa deb tushuniladi. Agar vektorning uch elementi berilgan bo‘lsa, uni kvadrat qavs ichida bir-biri bilan probel yoki vergul orqali ajratilib qiymatlari beriladi. Masalan:
>> V=[1 2 3] V =
1 2 3
>> V=[1; 2; 3] V =
1
2
3
Masalan, agar x=1 berilgan bo‘lsa, u holda bu x 1 ga teng bitta elementdan iborat vektordir. Agar vektor 4 ta elementdan iborat desak, ularning qiymatlarini kvadrat qavs ichida probellar bilan ajratilgan holda yozish mumkin.
>>V = [2 4 6 8] V =
2 4 6 8
Ushbu holda vektor satr holida berilgan. Agar elementlarni nuqtali vergul (;) bilan ajratsak, u holda vektor ustunini hosil qilamiz.
>>V = [2; 4; 6; 8]
V = 2
4
6
8
Matritsalarni berish bir nechta satrlarni ko‘rsatishni talab etadi. Satrlarni chegaralash uchun nuqtali vergul (;) dan foydalaniladi.
>>Т = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
Т = 1 2 3
4 5 6
7 8 9
Matritsa yoki vektorning alohida elementlarini V(i) yoki Т(i, j) ko‘rinishidagi ifodadan foydalaniladi. Masalan:
>> Т (3,2)
ans =
8
Agar Т(i, j) element x ning yangi qiymatini o‘zlashtirsa, u holda o‘zlashtirish operatori ishlatiladi.

Т (3,2) = х;
Т(i) ifoda bitta ustunga ega matritsa elementiga bitta indeksi bilan beriladi.
Masalan:
>>Т (3)

>>Т (8)
ans = 7


ans = 6

Matlabda matritsa va vektorlar ustida amallar bajarish bir vaqtning o‘zida barcha arifmetik amallarni bajarish imkonini beradi. Buning uchun amal belgisi oldidan nuqta qo‘yiladi. MathLabda vektor va matritsalarni berish uchun maxsus funksiyalar mavjud. Bu funksiyalar bir o‘lchovli va ko‘p o‘lchovli massivlar yaratish uchun xizmat qiladi. ones funksiyasi massivning birlik elementini tuzadi.

>> а = ones (3, 2) a =
1 1
1 1
1 1
zeros funksiya nol elementli massivni yaratadi.
>> b = zeros (2, 3)
b =
0 0 0
0 0 0
Matritsani berish bir nechta satr va bir nechta ustunlarni ko‘rsatishni talab etadi. Satr chegaralari nuqtali vergul bilan ajratiladi. Masalan:
>> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> M
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Matritsa va vektorlarning elementlarini arifmetik ifoda ko‘rinishida ham kiritish mumkin. Masalan:
>> V=[2+2/(3+4),exp(5),sqrt(10)];
>> V
V =
2.2857 148.4132 3.1623
Vektor yoki matritsalarning alohida elementlarini ko‘rsatish uchun V(i) yoki M(i,j) ko‘rinishidagi ifodadan foydalaniladi. Masalan:
>> M(2,2)
ans = 5
>> M(3,3)
ans = 9
>> M(3,2)

ans = 8
Matritsalarni shakllantirish va matritsa ustida amallar bajarish uchun matritsaning alohida satr va ustunlarini o‘chirish zarur bo‘lishi mumkin. Buning uchun bo‘sh kvadrat qavs, yani [ ] dan foydalaniladi. Masalan, M matritsa bilan shu bajarib ko‘raylik:
>> M=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9];
>> M

M =

>> M(:,2)=[ ]

M =

1 2 3

4 5 6
7 8 9
1 3
4 6
7 9

Bunda ikkinchi ustun o‘chirildi.
Chiziqli algebra masalalarini yechish sohasida Matlab keng imkoniyatlarga ega.
Vektor va matritsalar ustida bir qator amallarni Matlabda bajarishni keltirib o‘taylik:
>> % matritsa elementlariga murojaat
>> A(1,3)+M(2,2)*A(1,2)-M(1,1)^2
ans = 19
>> % vektorlarni elementlari bo‘yicha qo‘shish
>> v1=[2 5 -1];
>> v2=[1 -1 3];
>> v1+v2
ans = 3 4 2
>> % vektor elementlarini songa qo‘shish
>> v1+2
ans = 4 7 1
>> % vektor elementlari bo‘yicha arifmetik amallar
>> 2*v2-v1/4
ans =
1.5000 -3.2500 6.2500
>> % vektor elementlari bo‘yicha ko‘paytirish
>> v1.*v2
ans = 2 -5 -3
>> % element bo‘yicha darajaga ko‘tarish
>> v1.^2
ans = 4 25 1
>> % element bo‘yicha darajaga ko‘tarish
>> v1.^v2
ans =

2.0000 0.2000 -1.0000
>> % elementlari bo‘yicha songa ko‘paytirish
>> v1./3
ans =
0.6667 1.6667 -0.3333
>> % elementlari bo‘yicha vektorni vektorga bo‘lish
>> v2./v1
ans =
0.5000 -0.2000 -3.0000
Matritsalar ustida elementar amallar bajarish quyidagicha bo‘lishi mumkin:
>> % matritsa elementlarini songa ko‘paytirish
>> A=[1 -1 3;-1 2 0;3 -2 1];
>> B=2*A
B =
2 -2 6
-2 4 0
6 -4 2
>> % matritsa elementlari bo‘yicha amallar bajarish
>> A/3+2*(B-A)
ans =
2.3333 -2.3333 7.0000
-2.3333 4.6667 0
7.0000 -4.6667 2.3333
>> % matritsani transponirlash A'
>> A'
ans =
1 -1 3
-1 2 -2
3 0 1
>> % matritsani matritsaga ko‘paytirish
>> A*B
ans =
22 -18 12
-6 10 -6
16 -18 20
>> % matritsani kvadratga ko‘tarish
>> B^2
ans =
44 -36 24
-12 20 -12
32 -36 40
>> % Matritsani elementlarini ko‘paytirish
>> A.*B
ans =
2 2 18
2 8 0
18 8 2
>> % Matritsa elementlari bo‘'yicha darajaga ko‘tarish

>> B.^3
ans =
8 -8 216
-8 64 0
216 -64 8

A·x=b chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Matlabda teskari bo‘lish belgisi ishlatiladi.
>> % Ax=b chiziqli sistemani yechish
>> A=[1 2 5; 1 -1 3; 3 -6 -1];
>> b=[-9;2;25];
>> x=A\b
x = 2.0000
-3.0000
-1.0000
>> % Ax=b ni tekshirish
>> A*x
ans =
-9.0000
2.0000
25.0000

Nazorat savollari:

1. 
   Vektorlar qanday shakllantiriladi?
   
2. 
   Vektorlar ustida qanday amallar bajarish mumkin?
   
3. 
   Matritsalar qanday shakllantiriladi?