4-Mavzu: Evklid geometriyasini Gilbert aksiomatikasi bo’yicha asoslash

4-Mavzu: Evklid geometriyasini Gilbert aksiomatikasi bo’yicha asoslash

Gilbert aksiomalar sistemasi

Gilbert aksiomasida asosiy ob’ektlar “nuqta”, “to’g’ri chiziq”, “tekislik” – dan iborat bo’lib ular orasidagi munosabatlar “tegishli”, “orasida”, “kogurentlik” dir, bularning xossalarini aniqlovchi aksiomalar besh gruppaga bo’linadi:
I – gruppa: Bog’lanish (tegishlilik) aksiomalari. (8 ta)
II – gruppa: Tartib aksiomalari. (4 ta)
III – gruppa: Kogurentlik aksiomalari. (5 ta)
IV – gruppa: Uzluksizlik aksiomalari. (1 ta)
V – gruppa: Paralellik aksiomalari. (1 ta)
Geometriyani va har qanday matematik nazariyani aksiomalar asosida qurish ishni 1-dan asosiy ob’ektlar kategoriyasini, 2-dan bu ob’ektlar orasidagi asosiy munosabatlarni 3-dan aksiomalarni ko’rsatishdan boshlanishi kerak. Geometriyada qaraladigan undan kam ob’ektlar va ular orasidagi munosabatlar asosiy ob’yektlar orqali ta’riflanishi kerak va barcha teoremalarni aksiomalarga suyanib isbotlash kerak.
Gilbert aksiomalar sistemasida asosiy tushunchalar nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik.

I – gruppa. Bog’lanish aksiomalari.

I₁. Ixtiyoriy A va B nuqtalar uchun shunday to’g’ri chiziq mavjud bo’lib, bu nuqtalar shu to’gri chiziqda yotadi.
A B
I_2. A va B nuqtalardan o’tuvchi bittadan ortiq to’g’ri chiziq mavjud emas.
I₃. Har qanday to’g’ri chiziqda kamida ikkita nuqta mavjud.
Bitta to’gri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta mavjud.
A B
• C
I₄. Bir to’gri chiziqda yotmaydigan har qanday uchta A, B, C nuqtalardan o’tuvchi tekislik mavjud.

A B

• C

I_5. Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan har qanday A, B, C nuqtalardan o’tuvchi yagona tekislik mavjud.

I₄ va I₅ aksiomalarda quyidagi tekislik kelib chiqadi.
I₆. Agar a to’g’ri chiziqning A va B nuqtalari tekislikda yotsa, a to’g’ri chiziqning har qanday nuqtasi ham shu tekislikda yotadi.

a
A B

I₇. Agar tekisliklar umumiy A nuqtaga ega bo’lsa, u holda A nuqtadan farqli B nuqta mavjud.

A•
B•

β

I_8. Bitta tekislikda yotmaydigan kamida to’rtta nuqta mavjud.
II – gruppa. Tartib aksiomalari.
II₁. Agar B nuqta A va C nuqtalar orasida yotsa, u holda A, B, C bir to’g’ri chiziqdagi turli nuqtalar bo’lib, B nuqta C va A nuqtalar orasida yotadi.
^A _• ^B _• ^C _•
II₂. Agar A, B biror to’g’ri chiziqning nuqtalari bo’lsa, shu to’g’ri chiziqda kamida shunday bitta C nuqta topiladiki B nuqta A bilan C ning orasida yotadi.
^A _• ^B _• ^C _•
II₃. To’g’ri chiziqdagi har qanday uchta nuqtadan bittadan ortig’i qolgan ikkitasi orasida yotmaydi.
II₄. Pash aksiomalari.
ABC uchburchakning birorta ham uchidan o’tmaydigan va uning tekisligida yotadigan to’g’ri chiziq shu uchburchakning AB tomoni bilan umumiy nuqtaga ega
bo’lsa, u holda bu to’g’ri chiziq yo BC kesma yoki AC kesma nuqtasi orqali o’tadi.
a^׀
a
III- gruppa aksiomalari. Kongruentlik aksiomalari.
Bu gruppa aksiomalari kesma va burchaklarning kongruentlik (tenglik) tushunchasini aniqlaydi.
III₁. Ikki A va B nuqta a to’g’ri chiziqning nuqtasi, A^׀ esa shu tog’ri chiziqning yoki boshqa biror a^׀ to’g’ri chiziqning nuqtasi bo’lsa, u holda shu to’g’ri chiziqning A^׀ nuqtadan berilgan tomonida yotuvchi faqat bitta B^’ nuqtani doimo topish mumkinki, AB kesma A’B’ kesmaga kongruent bo’ladi.
^{a’ A’} _• ^B’ _• [AB] ≡ [A’B’]
^{a A} _• ^B _•
III₂. Ikki kesma uchinchi kesmaga kongruent bo’lsa, u holda ular bir – biriga kongruentdir ya’ni A’B’ ≡ AB, A” B” ≡ AB bo’lsa, A’B’ ≡ A”B”
A B A” B”
A’ B’
III₃. AB va BC kesmalar a to’g’ri chiziqning ikki umumiy nuqtalarga ega bo’lmagan kesmalari bo’lsin, shu to’gri chiziqning yoki boshqa a’ to’g’ri chiziqning A’B’, B’C’ kesmalari ham ichki umumiy nuqtalarga ega bo’lmay AB ≡ A’B’, BC ≡ B’C’ bo’lsa, AC ≡ A’C’ bo’ladi.
^A• ^B• ^C• AB ≡ A’B’ AC≡A’C’
^A’• ^B’• ^C’• BC≡ B’C’
III₄. P tekislikda < ( h, k) burchak va shu tekislikda yoki biror P’ tekislikda a’ to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, a to’g’ri chiziq bilan aniqlangan yarim tekisliklardan biri hamda a’ to’g’ri chiziqdagi 0’ uchli h’ nur tayin bo’lsin.
U holda 0’ nuqtadan chiquvchi va aniqlangan yarim tekislikda yotgan shunday yagona R’ nur mavjudki, < (h, k) burchak < (h’, k’) burshakka kongruent bo’ladi. Burchaklar orasidagi bunday nisbat < (h, k) = < (h’, k’) ko’rinishda belgilanadi. Har bir burchak uz – uziga kongruent deb olinadi.
III₅. ABC va A’B’C’ uchburchaklar uchun AB ≡ A’B’, BAC≡ B’A’C’ bo’lsa ABC ≡ A’B’C’ bo’ladi.
1.1-ta’rif. ABC va A’B’C’ uchburchaklarning uchta burchaklari va uchta tomonlari mos ravishda kongruent bo’lsa, bu uchburchaklar o’zaro kongruent deyiladi va ABC ≡ A’B’C’ ko’rinishda belgilnadi.
IV-gruppa aksiomalari. Uzluksizlik aksiomalari.
Bu aksiomaning mohiyati shundan iboratki, u to’g’ri chiziq nuqtalari to’plami bilan barcha haqiqiy sonlar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatishga imkon beradi.
IV. AB kesmaning barcha nuqtalari shu kesma uchlari bilan birgalikda quyidagi shartlarni qanoatlantiradigan qilib ikki sinfga ajratilgan bo’lib:
a) AB kesmaning har bir nuqtasi faqat bitta sinfga tegishli bo’lib, A nuqta birinchi sinfga, B nuqta esa ikkinchi sinfga tegishli bo’lsin, bu sinflar bo’sh bo’lmasin;
b) Birinchi sinfning A dan farqli har bir nuqtasi A bilan ikkinchi sinfning ixtiyoriy nuqtasi orasida yotsin. U holda AB kesmada shunday C nuqta topiladiki, A bilan C orasidagi barcha nuqtalar birinchi sinfga, C bilan B orasidagi barcha nuqtalar ikkinchi sinfga tegishli bo’lib, C nuqtaning o’zi birinchi yoki ikkinchi sinfga tegishli bo’ladi. C nuqta esa AB kesma nuqtalarini ikki sinfga ajratuvchi (kesadigan) nuqta deb ataladi.
V – gruppa aksiomlari. Parallellik aksiomalari.
To’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida bitta to’g’ri chiziq o’tadi.
Yuqorida absolyut geometriyaning bu teoremasiga e’tibor qilsak, unda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida bitta to’g’ri chiziqning o’tishi ta’kidlanib, biroq shunday to’g’ri chiziqning yagonaligi haqida hukm chiqarilmagan. Bunday to’g’ri chiziqning yagonaligi yoki yagona emasligi to’g’risida qo’shimcha talabning qo’yilishiga qarab Yevklid geometriyasi yoki Lobachevskiy geometriyasi to’g’risidagi ta’limotni hosil qilamiz. I- IV gruppa aksiomalariga suyangan geometriya bu ikki geometriyaning umumiy qismidir.Yevklid geometriyasida parallellik aksiomasi quyidagicha ifodalanadi.
V. To’g’ri chiziq tashqarisidagi nuqtadan o’tib, berilgan to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq bittadan ortiq emas.
Yuqoridagi 19 ta aksioma absolyut geometriyani tashkil etadi.