4-mavzu: kordinatalar sistemasini kiritish va ularni almashtirish. Tekislikda analitik geometriya. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish. Ikki nuqta orasidagi masofani topish tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Isbot. Teoremani isbotlash uchun ikki vektor yig’indisining proyeksiyasi haqidagi xossadan foydalanamiz:

Teorema. Agar xOy sistemada vektor boshining koordinatalari {x_1, y₁} va oxirining koordinatalari {x_2, y₂} bo’lsa, vektorning koordinatalari {x₁ x_2, y₁ y₂} bo’ladi. Ya’ni


Isbot. Chizmaga asosan, . Bundan esa .
Tekislikda affin va qutb koordinatalar sistemasi.

Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar { } bazis va О nuqta berilgan bo'lsa, vektorning { } bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi.

1 -ta’rif. Berilgan , { } bazis uchun
(
tengliklar bajarilsa, { } ortonormal bazis deyiladi.
2-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi
to ‘g ‘ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.

Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi.
Isbot. Bizga { } ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar
= + у + z
bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal proeksiyalarini А, В, С harflari bilan belgilasak = x , = y , = z tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , , kesmalarning kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun x = pr_Ox ,
y = pr_Oy , z = pr_Oz munosabatlarni hosil qilamiz.