Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish Teorema. Agar nuqta va nuqtalar bilan chegaralangan kesmani nisbatda bo‘lsa, u holda bu nuqtaning koordinatalari
(2.1.4)
formulalar bilan topiladi.
Isboti. to‘g‘ri chiziq o‘qqa perpendikular bo‘lmasin. nuqtalardan o‘qqa perpendikularlar tushiramiz va ularning o‘q bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda bilan belgilaymiz (5-shakl).
Elementar geometriyaning parallel to‘g‘ri chiziqlar orasidagi kesmalarning proporsionalligi haqidagi teoremasiga asosan topamiz:
,
bu yerda
va sonlar bir xil ishorali ( da ular musbat, da ular manfiy)
bo‘lgani uchun .
Bundan
Agar to‘g‘ri chiziq o‘qqa perpendikular bo‘lsa, u holda bo‘ladi va (2.1.4) formulaning birinchisi ayniyatga aylanadi.
(2.1.4) formulaning ikkinchisi shu kabi isbotlanadi.
(2.1.4) tenglikdan da quyidagi natija kelib chiqadi.
1-Natija. Agar va tekislikning ikkita ixtiyoriy nuqtasi, – kesmaning o‘rtasi bo‘lsa, u holda
(2.1.5)
bo‘ladi.
Misol. va nuqtalarni tutashtiruvchi kesmani nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Masalaning shartiga ko‘ra nuqta kesmaning boshi, nuqta uning oxiri bo‘lsin. nuqtani (8.4) formulalar bilan topamiz:
, , yoki
Ikki nuqta orasidagi masofa Teorema. Tekislikning istalgan ikkita va nuqtalari orasidagi masofa
(8.3)
formula bilan topiladi.
Isboti. va nuqtalardan , o‘qlariga mos ravishda , perpendikular tushiramiz va , to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasini bilan belgilaymiz (4-shakl). nuqta koordinataga ega bo‘ladi.
Bundan
kelib chiqadi. U holda to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘lgani uchun Pifagor teoremasiga ko‘ra
.
Misol va nuqtalar orasidagi masofani topamiz:
