4 Mavzu. Monoton ketma-ketlikning limiti. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi. Qismiy ketma-ketlik. Bolsano-Veyershtrass teoremasi. Ketma-ketlik yaqinlashishining Koshi kriteriyasi

3. Qismiy ketma – ketliklar. Bolsano – Veyershtrass teoremasi. Aytaylik,

ketma – ketlik berilgan bo’lsin. Bu (1) ketma – ketlik biror nomerli xadini olamiz. So’ngra nomeri dan katta bo’lgan nomerli xadini olamiz. Shu usul bilan va x.k xadlarni tanlab olamiz. Natijada nomerlari

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi hadlar tanlab olinib, ushbu
(2)
ketma – ketlikni hosil qilamiz.
(2) ketma – ketlik (1) ketma – ketlikning asosiy ketma – ketligi deyiladi. va kabi belgilanadi.
Masalan,
2,4,6,8,…,
1,3,5,7,…,
1,4,9,16,…,
ketma – ketliklar 1,2,3,4,…,n,… ketma – ketlikning qismiy ketma – ketliklari,
1,1,1,…,1,…,
-1,-1,…,-1,…
ketma – ketliklar ketma – ketlikning qismiy ketma – ketliklari bo’ladi.
Keltirilgan tushuncha va misollardan bitta ketma – ketlikning turli qismiy ketma – ketliklari bo’lishi mumkinligi ko’rinadi.
1 – teorema. Agar ketma – ketlik limitga ega bo’lsa, uning har qanday qismiy ketma – ketligi ham shu limitga ega bo’ladi.
Bu teoremaning isboti ketma – ketlik limiti ta’rifidan kelib chiqadi.
Yeslatma. Ketma – ketlik qismiy ketma – ketliklarning limiti mavjud bo’lishidan berilgan ketma – ketlikning limiti mavjud bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.
Masalan, ketma – ketlikning qismiy ketma – ketliklari
1,1,1,…,1,…,
-1,-1,…,-1,…
larning limiti bo’lgan holda ketma – ketlikning o’zining limiti mavjud emas.
2 – teorema (Bolsano – Veyershtrass teoremasi). Har qanday chegaralangan ketma – ketlikdan chekli songa intiluvchi qismiy ketma – ketlik ajratish mumkin.
ketma – ketlik berilgan bo’lib, u chegaralangan bo’lsin.:
[a,b] segmentni

segmentlarga ajratamiz. ketma – ketlikning cheksiz ko’p xadlari joylashgani deymiz. Ravshanki, ning uzunligi ga teng bo’ladi. Yuqoridagiga o’xshash segmentni

segmentlarga ajratamiz. Berilgan ketma – ketlikning cheksiz ko’p sondagi xadlari bo’lganini deymiz. Bunda ning uzunligi ga teng bo’ladi.
Bu jarayonni davom ettirish natijasida ushbu
, ,…, ,…
segmentlar ketma – ketligi hosil bo’adi. Bu segmentlar ketma- ketligi uchun
… …

bo’lib, da

bo’ladi.
Ichma – ich joylashgan segmentlar prinsipiga ko’ra

bo’ladi.
Endi ketma – ketlikning dagi birorta xadini dagi birorta xadini va dagi birorta xadini va x.k xadlarini olamiz. Natijada ketma – ketlikning xadlaridan tashkil topgan ushbu

qismiy ketma – ketliklar hosil bo’ladi. Bu ketma – ketlik uchun

bo’lib, undan da ya’ni bo’lishi kelib chiqadi.