4 Mavzu. Monoton ketma-ketlikning limiti. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi. Qismiy ketma-ketlik. Bolsano-Veyershtrass teoremasi. Ketma-ketlik yaqinlashishining Koshi kriteriyasi

4. Fundamental ketma – ketliklar. Koshi teoremasi.
ketma – ketlik berilgan bo’lsin.
1 – ta’rif. Agar har qanday olinganda ham shunday natural soni topilsaki, barcha uchun

tengsizlik bajarilsa (ya’ni bo’lsa), fundamentlar ketma – ketlik deyiladi.
Masalan,

fundamental ketma – ketlik bo’ladi.
Haqiqatdan ham, berilgan ketma – ketlik uchun

bo’lib, ga ko’ra deyilsa, bo’lganda

bo’ladi.
3 – teorema. (Koshi teoremasi). Ketma – ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va yetarlidir.
Zarurligi. ketma – ketlik yaqinlashuvchi bo’lib, bo’lsin. Limit Ta’rifiga binoan

Shuningdek, bo’ladi.
Natijada uchun

bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. fundamental ketma – ketlik bo’lsin.

Agar shartni qanoatlantiruvchi m tayinlansa, unda

bo’lib, ketma – ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Bolsano – Veyershtrass teoremasiga binoan bu ketma – ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma – ketlik ajratish mumkin:
Demak,

bo’ladi.
Agar deyilsa, unda

bo’ladi. Keyingi ikki tengsizliklardan

bo’lishi kelib chiqadi. Demak,


O’z-o’zini tekshirish uchun savollar
1. Monoton ketma- ketlik.
2. Monoton ketma –ketlik limiti.
3. Monoton ketma- ketlik limti haqidagi teorema.
4. Qismiy ketma – ketliklar.
5. Qismiy ketma – ketliklar uchun Bolsano – Veyershtrass teoremasi.
6. Fundamental ketma – ketliklar. Koshi teoremasi.
7. Fundamental ketma – ketliklar uchun Koshi teoremasi