4-mavzu. Vektorlar sistemasi va uning rangi

Masala. a₁(1; 1; 1), a₂(0; 1; 1), a₃(0; 0; 1) vektorlar sistemasi ustida ortonormallangan sistema quring.
Berilgan vektorlar sistemasi ustida dastlab qurilgan ortogonal b₁(1; 1; 1);

b₂(-2; 1; 1); b₃(0; -1; 1) sistemaning har bir vektorini birlik ko’rinishiga keltiramiz.
b₁/│b₁│=(1/√1²+1²+1²) (1; 1; 1)=(1/√3; 1/√3; 1/√3)

b₂/│b₂│ =(1/√(-2)²+1²+1²) (-2; 1; 1)=(-2/√6; 1/√6; 1/√6)

b₃/│b₃│=(1/√0²+(-1)²+1²) (0; -1; 1)=(0; -1/√2; 1/√2)

Ortonormallangan sistema (1/√3; 1/√3; 1/√3), (-2/√6; 1/√6; 1/√6), (0; -1/√2; 1/√2) vektorlar tarkibidan iborat.

n-o’lchovli haqiqiy arifmetik R_n fazoning bazisi deb, har qanday chiziqli erkli n-o’lchovli n ta vektorlarning tartiblangan tizimiga aytiladi. n-o’lchovli n ta a₁, a₂, …, a_n vektorlardan iborat tartiblangan tizim R_n fazo bazisi va a uning ixtiyoriy vektori bo’lsin. U holda a vektor tanlangan bazis vektorlari bo’yicha ularning yagona chiziqli kombinatsiyasi a = x₁a₁+x₂a₂+…+x_na_n ko’rinishida yoyilishi mumkin. x₁, x₂, …, x_n haqiqiy sonlarga a vektorning a₁, a₂, …, a_n bazisdagi koordinatalari deyiladi.
Xususan, haqiqiy koordinatalar tekisligi (R₂) bazisi deb, tekislikda tanlangan ixtiyoriy tartiblangan ikkita nokollinear vektorlarga aytiladi.
R₂ fazoda tanlangan 0 nuqta va a₁, a₂ bazis birgalikda tekislikda Dekart koordinatalari sistemasi deyiladi (1-rasm).

Ixtiyoriy aЄR₂ vektor tanlangan a₁, a₂ bazis vektorlari bo’yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.

Haqiqiy real uch o’lchovli fazo (R₃) bazisi deb, unda ixtiyoriy tanlangan uchta tartiblangan nokomplanar vektorlarga aytiladi.
R₃ fazoda tanlangan 0 nuqta va a₁, a₂, a₃ bazis birgalikda fazoda Dekart koordinatalari sistemasi deyiladi (2-rasm). Ixtiyoriy aЄR₃ vektor tanlangan a₁, a₂, a₃ bazis vektorlari bo’yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.
n-o’lchovli haqiqiy arifmetik fazo (R_n) ortogonal bazisi deb, vektorlari juft- jufti bilan o’zaro ortogonal bo’lgan bazisga aytiladi.
R_n fazo ortonormallangan bazisi deb esa, har bir vektori normallangan ortogonal bazisga aytiladi.
n-o’lchovli n ta e₁(1; 0; …; 0), e₂(0; 1; …; 0), …, e_n(0; 0; …; 1) vektorlardan iborat ortonormallangan bazisga R_n fazo kanonik bazisi deyiladi.
Xususan i(1; 0), j(0; 1) bazis R₂ fazo kanonik bazisi deyilsa, i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1) bazis esa R₃ fazo kanonik bazisi deyiladi.
Tekislikda (fazoda) ortonormallangan bazisli Dekart koordinatalar sistemasiga to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi (3-rasm (4-rasm)).

R_n fazoda berilgan ixtiyoriy chiziqli erkli vektorlar sistemasini fazo bazisigacha to’ldirish mumkin.