5-§. Grin formulasi

9-§. Funksiyani o‘zining to‘la differensiali bo‘yicha tiklash
Aytaylik,  va  funksiyalar va  hususiy hosilalar chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada uzluksiz va bu sohada  tenglik o‘rinli bo‘lsin. U holda yuqoridagi teoremaga binoan  ifoda D sohada qandaydir  funksiyaning to‘la differensiali bo‘ladi.
. (1)
Demak,  funksiyani topish uchun D sohadan qo‘zg‘almas  va qo‘zg‘aluvchi  nuqtalar olib, bu nuqtalarni tutashtiruvchi va D sohada yotuvchi bo‘lakli silliq chiziq bo‘ylab integralni hisoblash kerak. Bu integralning qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun, ko‘p hollarda integrallash yo‘li sifatida  ,  va nuqtalarni koordinata o‘qlariga parallel to‘g‘ri chiziqlar bilan tutashtirishdan hosil bo‘lgan siniq chiziqni olish integrallashni ancha osonlashtiradi (20-rasm).
Bu holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
20-rasm
Tenglikning o‘ng tomonidagi integrallarni aniq integralga keltirsak:
,
demak,
(2)
tenglikni hosil qilamiz.
Shunga o‘xshash integrallash yo‘li sifatida  , , nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq olinsa, u holda  funksiya quyidagicha topiladi (21-rasm).
(3)
21-rasm
Eslatma. (2) va (3) formulalarni qo‘llashda  nuqta sifatida D sohadan xoxlagan nuqtani olish mumkin. Amalda  nuqtani (2) va (3) formulalardagi integrallarni hisoblash osonlashadigan qilib tanlanadi (albatta, bu nuqtada teorema shartlari buzilmasligi kerak), ba’zida  yoki  (yoki  va  ) deb olishlik ham mumkin.
Misol.  ifoda biror sohada qandaydir ikki o‘zgaruvchili funksiyaning to‘la differensiali bo‘lishini tekshirib ko‘ring va o‘sha funksiyani toping.
Yechish.  . Bunda,  . Demak,  tenglik o‘rinli, berilgan ifoda qandaydir  funksiyaning to‘la differensiali. O‘sha funksiyani topamiz.
nuqta olib, funksiyani (2) formula bo‘yicha topamiz: