5-§. Grin formulasi

5-§. Grin formulasi
Bu paragrafda biz ikki karrali va egri chiziqli integrallarni bog‘lovchi muhim formulani keltirib chiqaramiz.
tekislikda 1-tip yopiq D sohani qaraylik ( to‘g‘ri chiziqlar va  uzluksiz chiziqlar bilan chegaralangan). Sohaning chegarasini L orqali belgilaylik (13-rasm).
13-rasm
Shu sohada  funksiya uzluksiz va  uzluksiz hosilaga ega.  ikki karrali integralni hisoblaylik.

Shunday qilib,  , yoki
(1).
Endi  egri chiziqli integralni hisoblaylik:
, (2)
bu yerda  va  lar Ox o‘qqa perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar bo‘lgani uchun  .
AB egri chiziq tenglamasi bo‘lgani uchun  egri chiziq tenglamasi  bo‘lgani uchun  tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Topilganlarni (2) ga qo‘ysak:
. (3)
(1) va (3) tengliklarga binoan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
. (4)
Endi D 2-tip soha ( to‘g‘ri chiziqlar chap va o‘ng tomonlardan mos ravishda  uzluksiz chiziqlar bilan chegaralangan) bo‘lsin (14-rasm).
14-rasm
D sohada  funksiya uzluksiz va u uzluksiz  hususiy hosilaga ega.
Yuqoridagi mulohazalarni yuritib, quyidagi tenglikni isbotlash mumkin:
(5)
Agar soha ham 1-tip, ham 2-tip soha bo‘lsa, u holda (4) va (5) tengliklarni ikkalasi ham o‘rinli bo‘ladi.
(5) tenglikdan (4) tenglikni hadma-had ayirib, ushbu formulani hosil qilamiz:
(6)
Bu Grin formulasi deyiladi.
Eslatma. Agar D soha 1-tip soha ham, 2-tip soha ham bo‘lmasa, uni chiziqlar yordamida bir nechta 1-tip va 2-tip sohalarga keltirib (15-rasm) yuqoridagi formulalarni isbotlash mumkin.
15-rasm
6-§. Egri chiziqli integral yordamida tekis figuralar yuzalarini hisoblash
Agar  deb olsak,  bo‘lib, 4-§ (4) formulaga binoan  tenglikni hosil qilamiz.  integral D sohaning yuzasini ifodalagan uchun
(1)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Xuddi shu kabi 4-§ (5) formulaga binoan  deb, ushbu formulani hosil qilamiz:
. (2)
(1) va (2) tengliklarni hadma-had qo‘shib, ushbu formulani hosil qilamiz:  . (3)