5-§. Grin formulasi

2-teorema.  va  funksiyalar chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada uzluksiz va uzluksiz  hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda D sohada to‘la joylashgan bo‘lakli silliq yopiq C kontur bo‘yicha olingan integral
(2)
bo‘lishi uchun D sohaning barcha nuqtalarida
(3)
tenglikning o‘rinli bo‘lishligi zarur va yetarli.
Isbot. Yetarli shart. Aytaylik, D sohaning barcha nuqtalarida (3) shart bajarilsin. D sohada joylashgan bo‘lakli silliq yopiq C kontur olaylik. D sohaning C kontur bilan chegaralangan qismini  orqali belgilaylik.  sohada Grin formulasini qo‘llasak, ushbu tenglik hosil bo‘ladi:
. (3) tenglikka binoan  .
Demak,  .
Zaruriy shart. Faraz qilaylik (2) o‘rinli, (3) tenglikni o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremani teskari faraz qilish yo‘li bilan isbotlaymiz. Faraz qilaylik biror  nuqtada (3) tenglik o‘rinli bo‘lmasin, ya’ni  , demak, bu nuqtada  .
Aniqlik uchun  deb olaylik.
Shartga ko‘ra  funksiya D sohada uzluksiz, xususan  nuqtada uzluksiz. Shuning uchun  nuqtaning biror w atrofi topilib, shu atrofning barcha nuqtalarida  tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu atrofdan biror bo‘lakli silliq C kontur olib, u bilan chegaralangan sohani G orqali belgilasak, u holda Grin formulasini qo‘llab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(4).
O‘ng tomondagi ikki karrali integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llasak, biror  topilib,  tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda  sohaning yuzi.  sohaning barcha nuqtalarida  funksiyaning qiymatlari musbat bo‘lgani uchun  bo‘lib,  ekanligi kelib chiqadi. (4) ga asosan tanlangan G kontur uchun  tengsizlik hosil bo‘ladi.
Bu teorema shartiga qarama-qarshi, ya’ni farazimiz noto‘g‘ri.
1- va 2-teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Bir bog‘lamli chegaralangan yopiq D sohada uzluksiz bo‘lgan  va  funksiyalar berillib, ular uzluksiz  hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda  egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun, D sohaning barcha nuqtalarida  tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
8-§. To‘la differensiallik sharti
(1)
egri chiziqli integral ostidagi
(2)
ifoda ko‘rinishi jixatidan qandaydir ikki argumentli  funksiyaning to‘la differensialini eslatadi:  . Shuning uchun to‘la differensiali (2) dan iborat bo‘lgan  funksiya mavjudmi degan savol tug‘iladi:  .
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
Teorema. Chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada  funksiyalar uzluksiz va ular D sohada uzluksiz  hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda  ifoda D sohada qandaydir funksiyaning to‘la differensiali bo‘lishi uchun D sohada
(3)
tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriy shart. Shunday  funksiya mavjud bo‘lib, D sohaning barcha nuqtalarida
(4)
tenglik o‘rinli bo‘lsin, bu holda (3) tenglik o‘rinli ekanlagini ko‘rsatamiz.
(4) tenglikda  tenglik kelib chiqadi. P ni y bo‘yicha, Q ni x bo‘yicha differensiallab, quyidagilarni hosil qilamiz:
. (5)
Teorema shartiga ko‘ra  hususiy hosilalar D sohada uzluksiz, shuning uchun  va  aralash hususiy hosilalar ham uzluksiz bo‘lib,  o‘rinli bo‘ladi. Bundan  tenglik kelib chiqadi.
Yetarli shart. Aytaylik D sohada  tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda D sohada aniqlangan  funksiya topilib uning to‘la differensiali  dan iborat bo‘lishini ko‘rsatamiz. (3) tenglik o‘rinli bo‘lganda (1) egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaydi. D sohadan  nuqta olib uni o‘zgarmas,  nuqta olib uni o‘zgaruvchi deb qaraylik. U holda (1) egri chiziqli integral x va y  o‘zgaruvchilarning qandaydir ikki argumentli funksiyasi bo‘ladi. Bu funksiyani quyidagicha belgilaylik:  .
funksiyaning D sohadagi to‘la differensiali (2) ga tengligini ko‘rsatamiz.  D sohaning biror tayin nuqtasi bo‘lsin.  ni o‘zgarmas qoldirib,  ga shunday  beramizki, natijada  bo‘lsin (19-rasm).
19-rasm
Bu funksiyaning x bo‘yicha hususiy orttirmasi quyidagicha bo‘ladi:
. (6)
Egri chiziqli integral qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun  integralni AB chiziq va BC to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lgan AC chiziq bo‘yicha integrallaymiz. Bundan 

.
BC kesmada y o‘zgarmas bo‘lgani uchun  bo‘lib,  tenglik hosil bo‘ladi. BC chiziq tenglamasi  bo‘lgani uchun egri chiziqli integralni aniq integralga keltiramiz: 
Bu aniq integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llab ushbu tenglikni hosil qilamiz:  . Ikkala tomoni  ga bo‘lsak: 
funksiya D sohada uzluksiz bo‘lgani uchun  tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bularga asosan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
(7)
Xuddi shu kabi
(8)
tenglikni keltirib chiqarish mumkin.
(7) va (8) tengliklardan  tenglikni keltirib chiqaramiz.
Eslatma. To‘la differensiali  ifodaga teng bo‘lgan  funksiya bu ifodaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
funksiya  ifodaning boshlang‘ich funksiyalaridan bittasi bo‘lib, barcha boshlang‘ich funksiyalari  (C-ixtiyoriy o‘zgarmas) ko‘rinishda bo‘ladi.
Yuqoridagi teoremadan ushbu natija kelib chiqadi.
Natija. Agar  va  funksiyalar o‘zlarining  hususiy hosilalari bilan chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda  egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun  ifoda shu sohada qandaydir funksiyaning to‘la differansiali bo‘lishi zarur va yetarli.