5- mavzu. Kombinatorika elementlari. Kombinatorika masalalari

n(A) = 40 - 35 = 5 n(A∩B) = 2.
n(B)= 40 - 37 = 3 n(A∪B) = 5 + 3- 2 = 6. Javob: 6 ta qarzdor talaba bor.
1 -masala. Sinfda 40 o`quvchi bor. Uning 26 tasi basketbol, 25 tasi — suzish, 27 tasi — gimnastika bilan shug`ullanadi, bir vaqtda suzish va gimnastika bilan — 15 ta, basketbol va gimnastika bilan — 16 ta, suzish va gimnastika bilan shug`ullanuvchilar — 18 ta. 1 o`quvchi darsdan ozod. Hamma sport turi bilan nechta o`quvchi shug`ullanadi? Nechta o`quvchi faqat 1 ta sport turi bilan shug`ullanadi?
Yechish. Maslada 3 ta to`plam qaralyapti: A — basketbol bilan shug`ullanuvchilar, V — suzish bilan shug`ullanuvchilar, S — gimnastika bilan shug`ullanuvchilar. Bu uch to`plam kesishadi. MISOLNI YECHAMIZ
Bu yerda x = 10. Demak, hamma sport turi bilan 10 ta o`quvchi, faqat 1 ta sport turi bilan 10 ta: basketbol bilan — 5 ta, suzish bilan — 2 ta, gimnastika bilan — 3 ta o`quvchi shug`ullanadi.
2 -masala. 50 talabadan 20 tasi nemis tilini, 15 tasi inghliz tilini o`rganadi. Ikkala tilni biluvchi va faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni nechta bo`lishi mumkin?
Yechish. Maslada 2 ta to`plam qaralyapti: A —barcha talabalar to`plami, V — nemis tilini o`rganadigan, S — inghliz tilini o`rganadigan talabalar to`plami. Masala sharti bo`yicha n(A) = 50, n(V) =20, n(S) = 15.
A, V va To`plamlar orasidagi munosabatlarni Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlash mumkin. Ikki tilni biluvchi talabalar soni V va S to`plamlar kesishmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq. Faqat 1 ta tilni biluvchi talabalar soni ikki to`plam birlashmasi elementlari sonini topish bilan bog`liq.
n ( B C) = 0 n ( B C) = 15
n (B C) = 35 n (B C) = 20
x—Ikki tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 0 ≤ x ≤ 15 (x N₀). u — 1 ta tilni biluvchi talabalar soni bo`lsa, 20 ≤ u ≤ 35 (u N₀).
3.Ko’paytma qoidasi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasi deyiladi.
A = {a₁, a₂, …, a_n} va B = {b₁,b₂, …, b_m} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (a_i, b_j.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz:
(a₁; b₁), (a₁; b₂), … , (a₁; b_m),
(a₂; b₁), (a₂; b₂), … , (a₂; b_m),
(a_n; b₁), (a_n; b₂), … , (a_n; b_m).
Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B).
Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A) · n(B) ko’rinishda yoziladi.
Ko’paytma qoidasiga oid kombinatorika masalasining umumiy ko’rinishi: «Agar x elementni m usul, y elementni n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) tartiblangan juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin».
Ikkitadan ortiq to’plamlar uchun bu formula quyidagicha yoziladi: