5-lekciya. Sızıqlı algebralıq teńlemeler sistemasın sheshiwdıń Gauss hām Gauss-Jordan usılı

5-lekciya. Sızıqlı algebralıq teńlemeler sistemasın sheshiwdıń Gauss hām Gauss-Jordan usılı
Аlgebralıq ten’lemeler sistemasın sheshiwdin’ Gauss usılı. Sızıqlı teńlemeler sistemasın Kramer usılı menen sheshiw sistemada belgisizler sanı qansha ulken san bolǵan sayın tártibi usı sanǵa teń bolǵan determinantlardı esaplawǵa baylanıslı qıyınshılıqlardan ótiwdi talap etedi. Sonıń ushın ámeliyatta sızıqlı sistemalardı sheshiwde Gausstıń belgisizlerdi izbe-iz joq etiw (yamasa qısqasha Gauss usılı) usılı dep atalǵan usıldı isletedi. Bul usılda berilgen sızıqlı teńlemeler sisteması dáslep matricası úshmúyeshli formada bolǵan teńlemeler sistemasına alıp kelinip, keyingi sistemanı sheshiw arqalı dáslepki berilgen sistemanıń sheshimi tabıladı.
Matricanı úshmúyeshli formadaǵı matricaǵa alıp keliwdiń zárurli hám jeterli shárti, berilgen matricanıń bas diagonalındaǵı elementleriniń bir waqıtta nolge teń bolmaslıǵınan ibarat. Bul shárttiń durıslıǵın dálillep otırmastan Gauss usılınıń algoritmin beremiz. Ápiwayılıqtı názerde tutqan halda bes belgisizli bes sızıqlı teńlemeler sistemasın Gauss usılında sheship kórsetemiz, yaǵnıy
(1)
túrindegi sistema qarastırıladı.
Meyli bolsın. Usı teńsizlik orınlı bolǵan jaǵdayda jetekshi element dep ataladı. Eger bolsa, onda sistemadaǵı teńlemelerdiń ornalasıw tártibin ózgertip diń koefficienti nolden ózgeshe teńlemeni birinshi qatarǵa jazıp, onıń birinshi koefficientin jetekshi element retinde qabıl etiwge boladı. Endi (1)-sistemadaǵı birinshi teńlemeni ge bólip,
(2)
túrinde jazıp alamız. (2)-teńleme járdeminde (1)-sistemadaǵı belgisizin joq etiw múmkin. Onıń ushın (2)-teńlemeni ge kóbeytip (1)-sistemanıń ekinshi teńlemesinen alıp taslaymız, keyin (2)-teńlemeni ge kóbeytip (1)-sistemanıń úshinshi teńlemesinen alıp taslaymız, keyin (2)-teńlemeni ge kóbeytip (1)-sistemanıń tórtinshi teńlemesinen alıp taslaymız, keyin (2)-teńlemeni ge kóbeytip (1)-sistemanıń besinshi teńlemesinen alıp taslasaq, tórt teńlemeden ibarat

sistemasına iye bolamız. Bul sistemada , belgilewin kiritip,
(3)
túrinde jazıp alamız.
Meyli (3) sistemasında jetekshi element bolsın. Endi (3) sistemasınıń birinshi teńlemesin ge bólip,
(4)
túrinde jazıp alsaq, onda (4) teńleme járdeminde (1a) sistemasınıń belgisizin joq etiw múmkin. Onıń ushın (4) teńlemeni dáslep ge kóbeytip (3) sistemasınıń ekinshi teńlemesinen alamız, keyin (4) teńlemeni ge kóbeytip (3) sistemasınıń ushinshi teńlemesinen alamız, keyin (4) teńlemeni ge kóbeytip (3) sistemasınıń tórtinshi teńlemesinen alamız, nátiyjede

sistemasına iye bolamız. Bul sistemada qolaylılıq ushın

belgilewin kiritip, onı
(5)
sistemada jetekshi koefficient dep esaplap, onıń birinshi teńlemesin ge bólip,
(6)
túrinde jazıp alıp, dáslep (6) teńlemeni ge kóbeytip (5) sistemanıń ekinshi teńlemesinen alıw, keyin (6) teńlemeni ge kóbeytip (5) sistemanıń úshinshi teńlemesinen alsaq, onda belgisiz joq etilip,

joqarıdaǵi teńlemeler sisteması kelip shıǵadı. Bul sistemada qolaylılıq ushın belgilewin kiritip, onı
(7)
túrinde jazıp alamız. (7) sistemanıń jetekshi elementi dep esaplap, onıń birinshi teńlemesin ke bólip,
(8)
teńlemesine iye bolamız. (8) sistemasınıń birinshi teńlemesinen basqa teńlemelerinde belgisizin joq etiw maqsetinde, usı teńlemeni kóbeytip, (7) sistemasınıń ekinshi teńlemesinen alamız, sonda

túrindegi belgisizine baylanıslı sızıqlı teńlemesi payda boladı. belgilewin kiritip bul teńlemeni,
(9)
túrinde jazıw múmkin. (9) teńlemesiniń jetekshi elementi bolsa, onda

birden-bir mánisine iye bolamız. Basqa belgisizleri sáykes (8), (6), (4), (2) teńlemelerinen tabıladı:
,



.
Demek, sızıqlı teńlemeler sistemasın sheshiwdiń Gauss usılı berilgen sistemaǵa teń kúshli bolǵan (2), (4), (6), (8), (9) teńlemelerinen dúzilgen úshmúyeshli matricaǵa iye sistemaǵa alıp keledi. Bul usıldan sızıqlı teńlemeler sistemasın sheshiwde paydalanıw ushın sistemanıń «jetekshi elementleriniń» nolden ózgeshe bolıwı zárurli hám jeterli shárt boladı. Gauss usılınan paydalanıp ámeliy mısallar sheshiwde sistemanıń keńeytirilgen matricası ustinde elementar túrlendiriwler orınlaw arqalı onı úshmúyeshli matricaǵa keltirgen qolay. Keyin usı úshmúyeshli matrica matricası bolatuǵın sistema sheshiw ańsat boladı.
Mısal ushın,

sistemasın sheshiw kerek bolsın. Bul sistemanıń keńeytirilgen matricası
.
Usı matricanı úshmúyeshli formaǵa iye matricasına alıp kelemiz. 1) bolǵanı ushın matricasını birinshi qatarın kóbeytip ekinshi hám tórtinshi qatarlarǵa, keyin ge kóbeytip úshinshi qatarǵa qosamız. Sonda
.
Endi keyingi matricanıń ekinshi hám tórtinshi qatarların -2 ge kóbeytip jazǵanan soń ekinshi qatardı dáslep tórtinshi qatardan alamız, keyin 2ge kóbeytip ushinshi qatarǵa qosamız,

Úshinshi qatardı -1ge kóbeytemiz, tórtinshi qatardı 4ke bólemiz, keyin úshinshi qatardı 6ǵa bólip tórtinshi qatardan alamız, nátiyjede

matricasına iye bolamız. Endi keńeytirilgen matricası bolǵan sistema jazsaq,

túrindegi berilgen sistemaǵa ekvivalent bolǵan sistema payda boladı.
Usı sistemadan belgisizlerdiń

mánisleri tabıladı.