5-ma’ruza mavzu: Kattalik va ularning turlari. Reja

5-MA’RUZA
Mavzu: Kattalik va ularning turlari.
Reja.
1. Kattaliklar.
2. Kattalikning o‘lchamligi.
3. Kattaliklarning birlikari.


Tayanch so‘z va iboralar: kattalik, o‘lchamlik, o‘lchash birligi, kattalikning asosiy birligi, asosiy kattalik, qo‘shimcha kattalik, hosilaviy kattalik.
1. Kattaliklar.
Atrofimizdagi hayot uzluksiz tarzda kechadigan muayyan jarayonlar, voqealar, hodisalarga nihoyatda boy bo‘lib, ularni ko‘pini aksariyat hollarda sezmaymiz yoki e’tiborga olmaymiz. Chetdan qaraganda ularning orasida bog‘liqlik yoki uzluksizlik bilinmasligi ham mumkin. Ba’zilariga esa shunchalik ko‘nikib ketganmizki, aniq bir so‘z bilan ifodalash kerak bo‘lsa, biroz qiynalib turamizda, “...mana shu-da!” deb qo‘yamiz. Butun suhbat barchamiz bilib-bilmaydigan, ko‘rib-ko‘rmaydigan va sezib-sezmaydigan kattaliklar haqida boradi.
Kattaliklarning ta’rifini keltirishdan oldin ularning mohiyatiga muqaddima keltirsak.
Yon-veringizga bir nazar tashlang, har xil buyumlarni, jonli va jonsiz predmetlarni ko‘rasiz. Balki oldingizda do‘stlaringiz ham o‘tirishgandir (albatta dars tayyorlab!). Garchi bu sanab o‘tilganlar bir-birlaridan tubdan farq qilsa ham hozir ko‘rishimiz kerak bo‘lgan xossalar va xususiyatlar bo‘yicha ulardagi muayyan umumiylikni ko‘rishimiz mumkin. Masalan, ruchka, stol va do‘stingizni olaylik. Bular bir-biridan qanchalik o‘zgacha bo‘lmasin, lekin o‘zlarida shunday bir umumiylikni kasb etganki, bu umumiylik ularning uchalasida ham bir xilda tavsiflanadi. Agarda gap ularning katta-kichikligi xususida boradigan bo‘lsa, biror bir yo‘nalish bo‘yicha olingan va aniq chegaraga (oraliqqa) ega bo‘lgan makonni yoki masofani tushunamiz. Aynan mana shu xossa uchta obyekt uchun bir xil ma’noga ega. Ushbu ma’no nuqtai nazaridan qaraydigan bo‘lsak, ular orasidagi tafovut faqat qiymatdagina bo‘lib qoladi. Yoki og‘irlik tushunchasini, ya’ni misol tariqasida olingan obyektlarning Yerga tortilishini ifodalaydigan xususiyatini oladigan bo‘lsak ham, mazmunan bir xillikni ko‘ramiz. Bunda ham ular orasidagi tafovut ularning Yerga tortilish kuchining katta yoki kichikligida, ya’ni qiymatidagina bo‘ladi. Biz buni oddiygina qilib og‘irlik deb atab qo‘yamiz. Bu kabi xususiyatlar talaygina bo‘lib, ularga kattalik nomi berilgan.
Kattaliklar juda ko‘p va turli-tuman, lekin ularning barchasi ham ikkitagina tavsif bilan tushuntiriladi. Bu sifat va miqdor tavsiflari.
Sifat tavsifi olingan kattalikning mohiyatini, mazmunini ifodalaydigan tavsif hisoblanadi. Gap masofa borasida ketganda muayyan olingan obyektning o‘lchamlarini, uzun-qisqaligini yoki baland-pastligini bildiruvchi xususiyatni tushunamiz, ya’ni ko‘z oldimizga keltiramiz. Buni oddiygina bir tajribadan bilishimiz mumkin. Bir daqiqaga boshqa ishlaringizni yig‘ishtirib, ko‘z oldingizga og‘irlik va temperatura nomli kattaliklarni keltiring... Xo‘sh, ularning sifat tavsiflarini seza oldingizmi. Bir narsaga ahamiyat bering-a, og‘irlik deganda qandaydir bir mavhum, og‘ir yoki yengil obyektni, aksariyat, tarozi toshlarini ko‘z oldiga keltirgansiz, temperatura to‘g‘risida gap borganda esa, issiq-sovuqlikni bildiruvchi bir narsani gavdalantirgansiz. Aynan mana shular biz sizga tushuntirmoqchi bo‘lgan kattalikning sifat tavsifi bo‘lib hisoblanadi.
Endi olingan obyektlarda biror bir kattalik to‘g‘risida so‘zlaydigan bo‘lsak, bu obyektlar o‘zida shu kattalikni ko‘p yoki kam “mujassamlashtirganligini” shohidi bo‘lamiz. Bu esa kattalikning miqdor tavsifi bo‘ladi.
Mana endi kattalikning ta’rifini keltirishimiz mumkin:
Kattalik - sifat tomonidan ko‘pgina fizikaviy obyektlarga (fizikaviy tizimlarga, ularning holatlariga va ularda o‘tayotgan jarayonlarga) nisbatan umumiy bo‘lib, miqdor tomonidan har bir obyekt uchun xususiy bo‘lgan xossadir.
Ta’rifda keltirilgan xususiylik biror obyektning xossasi ikkinchisinikiga nisbatan ma’lum darajada kattaroq yoki kichikroq bo‘lishini ifodalaydi.
Biz o‘rganayotgan metrologiya fani aynan mana shu kattaliklar, ularning birliklari, o‘lchash texnikasining rivojlanishi bilan chambarchas bog‘liqdir. “Kattalik” atamasidan xossaning faqat miqdoriy tomonini ifodalash uchun foydalanish to‘g‘ri emas (masalan, “massa kattaligi”, “bosim kattaligi” deb yozish), chunki shu xossalarning o‘zi kattalik bo‘ladi. Bunda “kattalik o‘lchami” degan atamani ishlatish to‘g‘ri hisoblanadi. Masalan, ma’lum jismning uzunligi, massasi, elektr qarshiligi va hokazolar.
Har bir fizikaviy obyekt bir qancha obyektiv xossalar bilan tavsiflanishi mumkin. Ilm-fan taraqqiyoti va rivojlanishi bilan bu xossalarni bilishga talab ortib bormoqda. Hozirga kelib zamonaviy o‘lchash vositalari yordamida 70 dan ortiq kattalikni o‘lchash imkoniyati mavjud. Bu ko‘rsatkich 2050 yillarga borib 200 dan ortib ketishi bashorat qilinmoqda.
Ko‘pincha kattalikning o‘rniga parametr, sifat ko‘rsatkichi, tavsif (xarakteristika) degan atamalarni ham qo‘llanishiga duch kelamiz, Lekin bu atamalarning barchasi mohiyatan kattalikni ifodalaydi.
Muayyan guruhlardagi kattaliklarning orasida o‘zaro bog‘liqlik mavjud bo‘lib, uni fizikaviy bog‘lanish tenglamalari orqali ifodalash mumkin. Masalan, vaqt birligidagi o‘tilgan masofa bo‘yicha tezlikni aniqlashimiz mumkin. Mana shu bog‘lanishlar asosida kattaliklarni ikki guruhga bo‘lib ko‘riladi: asosiy kattaliklar va hosilaviy kattaliklar.
Asosiy kattalik deb ko‘rilayotgan tizimga kiradigan va shart bo‘yicha tizimning boshqa kattaliklariga nisbatan mustaqil qabul qilib olinadigan kattalikka aytiladi. Masalan, masofa (uzunlik), vaqt, temperatura, yorug‘lik kuchi kabilar.
Hosilaviy kattalik deb tizimga kiradigan va tizimning kattaliklari orqali ifodalanadigan kattalikka aytiladi. Masalan, tezlik, tezlanish, elektr qarshiligi, quvvat va boshqalar.
2. Kattalikning o‘lchamligi
Har bir xossa ko‘p yoki kam darajada ifodalanishi, ya’ni miqdor tavsifiga ega bo‘lishi mumkin ekan, demak bu xossani o‘lchash ham mumkin. Bu haqda buyuk italiyalik olim Galileo Galiley “O‘lchash mumkin bo‘lganini o‘lchang, mumkin bo‘lmaganiga esa imkoniyat yarating” degan edi.
Kattaliklarning sifat tavsiflarini rasmiy tarzda ifodalashda o‘lchamlikdan foydalanamiz.
Kattalikning o‘lchamligi deb, shu kattalikning tizimdagi asosiy kattaliklar bilan bog‘liqligini ko‘rsatadigan va proportsionallik koeffitsienti 1 ga teng bo‘lgan ifodaga aytiladi.
Kattaliklarning o‘lchamligini dimension - o‘lcham, o‘lchamlik ma’nosini bildiradigan (ingl.) so‘zga asoslangan holda dim simvoli bilan belgilanadi.
Odatda, asosiy kattaliklarning o‘lchamligi mos holdagi bosh harflar bilan belgilanadi, masalan,
dim l = L; dim m = M; dim t = T.
Hosilaviy kattaliklarning o‘lchamligini aniqlashda quyidagi qoidalarga amal qilish lozim:
Tenglamaning o‘ng va chap tomonlarining o‘lchamligi mos kelmasligi mumkin emas, chunki, faqat bir xil xossalargina o‘zaro solishtirilishi mumkin. Bundan xulosa qilib aytadigan bo‘lsak, faqat bir xil o‘lchamlikka ega bo‘lgan kattaliklarnigina algebraik qo‘shishimiz mumkin.
O‘lchamliklarning algebrasi ko‘payuvchandir, ya’ni faqatgina ko‘paytirish amalidan iboratdir.

1. 
   Bir nechta kattaliklar ko‘paytmasining o‘lchamligi ularning o‘lchamliklarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni: A, B, C, Q kattaliklarining qiymatlari orasidagi bog‘lanish Q = ABC ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u holda
   

dim Q = (dim A)(dim B)(dim C).

2. 
   Bir kattalikni boshqasiga bo‘lishdagi bo‘linmaning o‘lchamligi ularning o‘lchamliklarining nisbatiga teng, ya’ni Q = A/B bo‘lsa, u holda
   

dim Q = dim A / dim B.

3. 
   Darajaga ko‘tarilgan ihtiyoriy kattalikning o‘lchamligi uning o‘lchamligini shu darajaga oshirilganligiga tengdir, ya’ni, Q = Aⁿ bo‘lsa, u holda,
   

dim Q = dim Aⁿ.
Masalan, agar tezlik v = l/t bo‘lsa, u holda
dim v = dim l / dim t = L/T = LT^-1.
SHunday qilib, hosilaviy kattalikning o‘lchamligini ifodalashda quyidagi formuladan foydalanishimiz mumkin:
dim Q = LⁿM^mT^k....,
bunda, L, M, T..., - mos ravishda asosiy kattaliklarning o‘lchamligi; n, m, k..., - o‘lchamlikning daraja ko‘rsatkichi.
Har bir o‘lchamlikning daraja ko‘rsatkichi musbat yoki manfiy, butun yoki kasr songa yoxud nolga teng bo‘lishi mumkin. Agar barcha daraja ko‘rsatkichlari nolga teng bo‘lsa, u holda bunday kattalikni o‘lchamsiz kattalik deyiladi. Bu kattalik bir nomdagi kattaliklarning nisbati bilan aniqlanadigan nisbiy (masalan, dielektrik o‘tkazuvchanlik), logarifmik (masalan, elektr quvvati va kuchlanishining logarifmik nisbati) bo‘lishi mumkin.
O‘lchamliklarning nazariyasi odatda hosil qilingan ifoda (formula)larni tezdan tekshirish uchun juda qo‘l keladi. Ba’zan esa bu tekshiruv noma’lum bo‘lgan kattaliklarni topish imkonini beradi.