6 – ma’ruza: suyuqlikning tekis devorga bosim kuchi

6 – MA’RUZA:
SUYUQLIKNING TEKIS DEVORGA BOSIM KUCHI..

1. Suyuqlikga ta’sir etuvchi kuchlar

2. Eyler tenglamasini keltirib chiqarish.
3. Suyuqliklarni nisbiy muvozanati.
Tayanch so‘z va iboralar:
Bosim, yuza, balandlik, kuch, og‘irlik, xajm yo‘nalish, suyuqlikka ta’sir etuvchi tashqi kuchlar, suyuqlik ichki kuchlari.


Muammoli vaziyat, savol yoki topshiriq
1. Ichki va tashqi kuchlar haqida nimalarni bilasi?
2. Suyuqlik satxiga qanday kuchlar ta’sir etadi?
3. Aylanayotgan idishdagi suyuqlikka qanday kuchlar ta’sir etadi.
Suyuqliklar muvozantining Eyler differensial tenglamasi. Muvozanat holatidagi suyuqliklarga bosim va og‘irlik kuchlari ta’sir qiladi. Bosim suyuqlik egallagan hajmning har xil nuqtasida har xil qiymatga ega. SHuning uchun bosimni koordinata o‘qlari x, u, z larning funksiyasi deb qarash kerak. Ko‘rilayotgan suyuqlikda tomonlari dx, dy, dz ga teng bo‘lgan parallelopipedga teng elementar hajm ajratib olamiz (1.6-rasm). Endi suyuqlikka ta’sir qiluvchi kuchlarning muvozanat holatini tekshiramiz. Og‘irlik kuchining proeksiyalari XdV; YdV; ZdV bo‘lsin; ya’ni G{XdV; YdV; ZdV. Elementar hajmning uOz tekislikda yotgan sirtiga Ox o‘qiga yo‘nalishida r ga teng, unga parallel bo‘lgan sirtiga esa rQ ga teng bosimlar ta’sir qiladi.
Bu sirtlarga ta’sir qiluvchi bosim kuchlari esa tegishlicha rdydz va (r+ dx)dydz larga teng. Olingan elementar hajm Ox o‘qi bo‘yicha muvozanatda bo‘lishi uchun bu o‘q bo‘yicha yo‘nalgan kuchlar yig‘indisi nolga teng bo‘lishi kerak:
rdydz-(r+ dx)dydz-rxdxdydz=0
SHuningdek, Ou o‘qi bo‘yicha, uOz tekislikda yotuvchi sirtga rdxdz,
unga parallel bo‘lgan sirtga esa, (rQ du) dxdz kuchlar ta’sir qiladi
SHuning uchun elementar hajmining Ou o‘qi bo‘yicha muvozanat sharti quyidagicha bo‘ladi:
rdxdz-(r+ dy)dxdz-rYdxdydz=0
SHuningdek, Oz o‘qi bo‘yicha
rdxdy va (r+ dz)dxd
kuchlar ta’sir qiladi hamda ularning muvozanat sharti quyidagicha bo‘ladi:
rdxdy-(r+ dz)dxdy-rZdxdydz=0 (4.1)

Suyuqliklar muvozanatining Eyler tenglamasiga doir chizma.

O‘xshash miqdorlarni qisqartirish va qolgan hadlarni dx, dy, dz ga bo‘lishdan keyin quyidagi tenglamalar tizimsini olamiz:

Bu tenglamalar tizimsida ko‘rinib turibdiki, gidrostatik bosmining biror koordinata o‘qidagi zichlikning birlik og‘irlik kuchining shu o‘q yo‘nalishidagi proeksiyasiga ko‘paytmasiga teng ekan, ya’ni muvozanatdagi suyuqliklarda bosimning o‘zgarishi massa kuchlarga bog‘liq. (4.2) tenglamalar tizimsi suyuqliklar muvozanat holatining umumiy differensial tenglamasidir. Bu tenglamani 1755yilda. L.Eyler kashf etgan.
Tekis tezlanuvchan harakat qilayotgan idishdagi suyuqlik. Suyuqlik a tezlanish bilan harakat qilayotgan idishda muvozanat holatida bo‘lsin. Bu holda suyuqlik zarralari tezlanish a va og‘irlik ta’sirida bo‘ladi, ular uchun birlik massa kuchlar esa quyidagicha bo‘ladi:


X=-a, Y=0, Z=-g

Bu qiymatlarni (4.2) ga qo‘ysak, -adx – adz=0 tenglamani olamiz. Uni integrallab quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz:

ax+gz=const

Bu esa nishab tekislik tenglamasidir. SHunday qilib, ko‘rilayotgan holda bosimi teng sirtlar Ox va Oz o‘qlarga burchak ostida yo‘nalgan, Ou o‘qiga esa parallel bo‘lgan sirtlardir. Bu sirtlarning gorizontal tekislik bilan tashkil qilgan burchagi quyidagicha aniqlanadi:

=arctg

Erkin sirtda bosim r_o ekanligini hisobga olsak, (4.1) tenglamadan quyidagi munosabat kelib chiqadi: