6-ma’ruza: Birinchi tur sirt integrali. Ikkinchi tur sirt integrali. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog`lanish. Reja

3⁰. Ikkinchi tur egri chiziqli integralning ba’zi tadbiq­lari. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida tekis shakilning yuzi, kuch ta’sirida bo‘lgan maydonda bajarilgan ish topiladi va boshqa turli fizik va mexanik masalalar hal etiladi. Tekislikda biror yuzaga ega bo‘lgan shakl berilgan bo‘lib, uning chegarasi to‘g‘rilanuvchi yopiq chiziqdan iborat bo‘lsin. Bu shaklning yuzi ushbu
(10)
formulalar yordamida topiladi (qaralsin,93-ma’ruza).
Aytaylik, uzunlikka ega bo‘lgan egri chiziq berilgan bo‘lib, uning har bir nuqtasi ushbu

kuch ta’sirda bo‘lsin. U holda nuqtani nuqtaga o‘tkazishda bajarilgan ish
(11)
bo‘ladi.
4-misol. Ushbu

ellips bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.
◄Bu shaklning yuzi (10) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Egri chiziqli integralni hisoblaymiz:

. ►
5-misol. egri chizig‘i chiziqning va nuqtalari ora­si­dagi qismi bo‘lib, uning har bir nuqtasi

kuch ta’sirida bo‘lsin. Bu kuch ta’sirida bajarilgan ish topilsin.
◄Izlanayotgan ishni (11) formuladan foydalanib topamiz. Bu holda

bo‘lishini e’tiborga olsak, unda bajarilgan ish

bo‘ladi. ►

Mashqlar

1. Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar ham aniq integral xos­sa­lari kabi xossalarga ega. Bu xossalar keltirilsin va ular isbotlansin.

2. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar ushbu

bog‘lanishda bo‘lishi isbotlansin, bunda va lar mos ravish­da va o‘qlari bilan urinmaning yoy o‘sishi tomoniga qarab yo‘nalishlari orasidagi burchaklar.
3. Ushbu

integral hisoblansin, bunda yopiq chiziq quyidagi

sikloidadan iborat.
4 . Ushbu

integral hisoblansin, bunda yopiq chiziq uchlari

nuqtalarda bo‘lgan kvadratdan iborat.