6-ma’ruza: Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar. Reja

6-MA’RUZA:
Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar.
Reja:
1. Yuqori tartibli tenglamalarning turli ko’rinishlari.
a) Quyi tartibli hosila qatnashmagan hol.
v) Bir jinsli bo’lgan hol.
2. Almashtirishlar.

Yuqori tartibli tenglamalarni ba’zi hollarda tartibini pasaytirish mumkin. Hozir shunday tenglamalarning bir necha tiplarini ko’rib o’tamiz.

1. 
   Ushbu
   

(1kn) (1)
(1) tenglamada y, ,…,y^(k-1) tartibli Hosila lar qatnashmaydi. Bu holda y^(k)=z ko’rinishda yangi z funksiya kiritamiz, unda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga kelib, tartibi (n-k) ga teng. Biror usul bilan (2) tenglamani yechib, umumiy yechimini topamiz.

almashtirishga ko’ra

ko’rinishiga keladi. So’ngi tenglamani integrallab,

ko’rinishdagi umumiy yechimini olamiz.
MISOL:
Unda =z deb olsak,
yoki Klero tenglamasiga keladi.
Klero tenglamasining yechimi
bo’lib, undan
tenglamaga kelamiz.
Integrallab, quyidagi
y=c₁x(x-c₁)+c₂ ( )
ko’rinishdagi umumiy yechimni topamiz.
ESLATMA: Agar (1) tenglama

ko’rinishida bo’lsa almashtirish qilamiz. Agar

ko’rinishda bo’lsa almashtirish kiritib

ko’rinishdagi tenglamaga keltiriladi.
Agar n-tartibli tenglamani ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, uni integrallash oson amalga oshiriladi. Bunda f(x) (a,b) intervalda uzluksiz funksiya. Bu tenglamani integrallashda tenglikdan ketma-ket foydalanib, integrallaymiz, ya’ni

shu jarayonni n-marta takrorlab umumiy yechimni hosil qilamiz.

2. 
   (1) tenglamada erkli o’zgaruvchi qatnashmasa, ya’ni
   

(3)
bo’lsa, u holda =z ko’rinishda yangi o’zgaruvchi kiritamiz va uni erkli o’zgaruvchi sifatida olamiz hamda ketma-ket hosila hisoblamiz:



Bu hosilalarni (3) tenglamaga qo’yib,

n-1 tartibli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning umumiy yechimini topsak,
z=(y,c,c₁,…,c_n-1)
ko’rinishida ifodalanadi. Bundan esa
=(y,c,c₁,…,c_n-1)
tenglamaga kelamiz. So’nggi tenglamani integrallab, (3) tenglamani umumiy yechimi topiladi.
3. (1) tenglamada F funksiya y, o’zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli bo’lsin, ya’ni bir jinsli tenglamalar mavzusida berilgan ta’rifga ko’ra ixtiyoriy t uchun

tenglik o’rinli bo’lsin.
Bunday tenglamalar uchun

almashtirish qilamiz, unda

bo’lib, (1) tenglama

bu bir jinsli ekanligini nazarda tutsak,

Bu tenglamani y^m ga bo’lib yuborsak, n-1 tartibli tenglamaga kelamiz. Uni yechib,

echimga ega bo’lamiz , yoki almashtirishga ko’ra

tenglamani yechamiz, buni umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lib, (1) tenglamaning bir jinsli bo’lgan holdagi umumiy yechimini ifodalaydi.
Faraz qilaylik tenglama
(4)
ko’rinishda bo’lib, ‘ va Q funksiyalar mos holda k va m tartibli bir jinsli funksiyalar bo’lsin. U holda
(5)
almashtirish qilib, (4) ni x ga nisbatan yechamiz va x ni o’rniga
x= (t) parametr kiritamiz, uni (5) ga qo’yib,

ko’rinishni hosil qilamiz.
Shunday qilib,

parametrik ko’rinishdagi tenglamani hosil qilamiz. tenglikdan foydalanib ketma-ket integrallaymiz.
ESLATMA: F funksiya bir jinsli bo’lgan holda
almashtirish kiritish ham tenglama tartibini kamaytirishiga olib keladi.
MISOL: tenglamani yeching.
Tekshiramiz: ,
bundan demak, berilgan tenglama ni nisbatan bir jinsli ekan. Endi

belgilash kiritamiz:
Hosila lar bilan birga tenglamaga qo’yamiz.

yoki bo’ladi. tenglamani yechib, topamiz. Almashtirishi ko’ra
umumiy yechim hosil bo’ladi.


Tekshirish uchun savollar

1. 
   Yukori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish haqida tushuncha.
   
2. 
   ko’rinishidagi tenglamani yechish usuli.
   
3. 
   F funksiya bir jinsli bo’lsa , qaneday almashtirish bajariladi.
   
4. 
   Tenglama ko’rinishida bo’lsa tenglamaning tartibi qanday pasaytiriladi.
   
5. 
   tenglamani tartibini pasaytirish.
   
6. 
   Qaysi holda almashtirish bapjariladi?
   
7. 
   Qaysi holda almashtirish bapjariladi?
   
8. 
   Umumlashgan bir jinsli funksiya tushunchasi.
   
9. 
   Qanday tenglamalar uchun almashtirish bajariladi?
   

10. tenglamani yeching.