6-ma’ruza. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Parametrik koʻrinishda berilgan funksiyalarni differensiallash
6-ma’ruza. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Parametrik koʻrinishda berilgan funksiyalarni differensiallash 1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi. Faraz qilaylik, biror da hosilaga ega funksiya aniqlangan bo‘lsin. Ravshanki, hosila da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va , simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo‘yicha ekan.
Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa, u uchinchi tartibli hosila deyiladi kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha .
Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga o‘xshash aniqlanadi. Umuman funksiyaning -tartibli hosilasining hosilasiga uning n-tartibli hosilasi deyiladi va , , simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha n-tartibli hosila rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.
1-misol. funksiya berilgan. ni hisoblang.
Yechish. , , , demak . Yuqorida aytilganlardan, funksiyaning yuqori tartibli, masalan, n-tartibli hosilalarini topish uchun uning barcha oldingi tartibli hosilalarini topish zarurligi kelib chiqadi. Ammo ayrim funksiyalarning yuqori tartibli hosilalari uchun umumiy qonuniyatni topish va undan foydalanib formula keltirib chiqarish mumkin.
2. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi. Ikkinchi tartibli hosila sodda mexanik ma’noga ega. Aytaylik, moddiy nuqtaning harakat qonuni funksiya bilan aniqlangan bo‘lsin. U holda uning birinchi tartibli hosilasi harakat tezligini ifodalashi bizga ma’lum. Ikkinchi tartibli hosila esa harakat tezligining o‘zgarish tezligi, ya’ni harakat tezlanishini ifodalaydi.
2-misol. Moddiy nuqta ( metrlarda, sekundlarda berilgan) qonun bo‘yicha to‘g‘ri chiziqli harakat qilmoqda. Uning o‘zgarmas kuch ta’sirida harakat qilishini ko‘rsating.
Yechish. , , bundan bo‘lib, harakat tezlanishi o‘zgarmas ekan. Nyuton qonuni bo‘yicha kuch tezlanishga proporsional. Demak, kuch ham o‘zgarmas ekan.