3. Yuqori tartibli hosilaning xossalari. Leybnits formulasi. 1-xossa. Agar va funksiyalar n-tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, u holda bu ikki funksiya yig‘indisining n -tartibli hosilasi uchun
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. à Aytaylik, bo‘lsin. Bu funksiyaning hosilalarini ketma-ket hisoblash natijasida quyidagilarni hosil qilamiz:
. Matematik induksiya metodidan foydalanamiz, ya’ni tartibli hosila uchun tenglik o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilamiz va uchun ekanligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham, yuqori tartibli hosilaning ta’rifi, hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar xossalaridan foydalanib ekanligini topamiz.
Matematik induksiya prinsipiga ko‘ra tenglik ixtiyoriy natural uchun o‘rinli deb xulosa chiqaramiz. ¨
2-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini n-tartibli hosila belgisi oldiga chiqarish mumkin:
Bu xossa ham matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlanadi.
4. Yuqori tartibli differensiallar. Aytaylik, funksiya biror intervalda berilgan bo‘lsin. Bu funksiyaning differensiali ga bog‘liq bo‘lib, va orttirma ga bog‘liq emas, chunki nuqtadagi orttirmani ga bog‘liq bo‘lmagan holda ixtiyoriy tanlash mumkin. Bu holda differensial formulasidagi ko‘paytuvchi o‘zgarmas bo‘ladi va ifoda faqat ga bog‘liq bo‘lib, uni bo‘yicha differensiallash mumkin.
Demak, bu funksiyaning differensiali mavjud bo‘lishi mumkin va u, agar mavjud bo‘lsa, funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi.
Ikkinchi tartibli differensial yoki kabi belgilanadi. Shunday qilib, ikkinchi tartibli differensial quyidagicha aniqlanar ekan: . Berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali ifodasini topish uchun formulada ko‘paytuvchi o‘zgarmas deb qaraymiz. U holda
bo‘ladi. Biz kelgusida dx ning darajalarini qavssiz yozishga kelishib olamiz. Bu kelishuvni e’tiborga olsak, bo‘ladi va ikkinchi tartibli differensial uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
Shunga o‘xshash, uchinchi tartibli differensialni ta’riflash va uning uchun ifodasini keltirib chiqarish mumkin: 3.
Umumiy holda funksiyaning -tartibli differensiali dan olingan differensial funksiyaning -tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi, ya’ni . Bu holda ham funksiyaning -tartibli differensiali uning n-tartibli hosilasi orqali quyidagi
(2)
ko‘rinishda ifodalanishini isbotlash mumkin.
Yuqoridagi formuladan funksiyaning n-tartibli hosilasi uning n-tartibli differensiali va erkli o‘zgaruvchi differensialining n-darajasi nisbatiga teng ekanligi kelib chiqadi:
.