6-mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqning kanonik tenglamasi

Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi
Aytaylik, ushbu
(8)
tenglik tekislikdagi o’zgaruvchi nuqtaning va koordinatalari orasidagi bog’lanishni ifodalasin. Bunday nuqtalar to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) umuman aytganda egri chiziq bo’ladi. U ikkinchi tartibli egri chiziq, (8) tenglama esa ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan ta’rifda “umuman aytganda” degan ibora ishlattildi. Bunday deyilishining boisi, (8) tenglamaga har doim ham tekislikda geometrik shakl mos kelavermasligida.
Masalan,

ya’ni

tenglama tekislikda hech qanday shakilni ifodalamaydi.
Shunga o’xshash

tenglama tekislikda egri chiziqni emas, balki nuqtani ifodalaydi.
Endi (8) tenglama ba’zi ko’rinishlarida egri chiziqni ifodalashiga misollar keltiramiz.
4-misol. Ushbu

tenglamani qaraylik.
◄Ravshanki, bu tenglama (8) tenglamaning

bo’lgan hususiy holi. Uni quyidagicha

ya’ni

ko’rinishda yozib olamiz.
Ravshanki,

koordinatalar sistemasidagi koordinatalar boshini ko’chirish natijasidan keyingi tenglama quyidagi

ko’rinishga keladi.Bu paraboladir.►
5-misol. Ushbu

tenglamani qaraylik.
◄Ravshanki, bu tenglama (8) tenglamaning

bo’lgan hususiy holi. Berilgan tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

ya’ni

Agar koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish bilan uning koordinatalar boshini nuqtaga ko’chirilsa, ( 5-chizma)

5- chizma

unda yangi sistemada qaralayotgan tenglama ushbu ko’rinishga keladi.Keyingi tenglikni ikki tomonini 62 ga bo’lib topamiz: Demak,

Bu ellipisdir.►
6-misol. Ushbu

tenglamani qaraylik.
◄Ravshanki, bu tenglama (8) tenglamaning

bo’lgan hususiy holi. Berilgan tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
,
. (9)
Yuqoridagidek, koordinatalar boshini nuqtaga, koordinatalar o’qlarini esa parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lgan yangi koordinatalar sistemasida (9) tenglama ushbu

ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikning ikki tomonini 6 ga bo’lib topamiz:

Bu tenglama giperbolani ifodalaydi.►
Yuqorida keltirilgan ma’lumot va misollardan ko’rinadiki, ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi

qanday egri chiziqni ifodalashi (8) tenglamaning koeffitsentlariga bog’liq bo’ladi.
(8) tenglamadan bir muncha soddaroq bo’lgan
(10)
tenglamani qaraylik.
Quyidagi tasdiq o’rinli bo’ladi:
agar (10) tenglamada

bo’lsa, (10) tenglama parabolani ifodalaydi;
agar (10) tenglamada

bo’lsa, (10) tenglama ellipsni ifodalaydi;
agar (10) tenglamada

bo’lsa, (10) tenglama giperbolani ifodalaydi.
Bu tasdiq yuqoridagi misollarda qo’llanilgan usul bilan isbotlanadi.
(8) tenglama koordinatalar sistemasini tanlash yo’li bilan, shu sistemada qaralayotgan quyidagi kanonik ko’rinishlardan bittasiga keltiriladi.

1. 
   (ellips);
   
2. 
   (mavhum ellips);
   
3. 
   (ikki mavhum kesishuvchi chiziqlar);
   
4. 
   (giperbola);
   
5. 
   (ikki kesishuvchi chiziqlar);
   
6. 
   (parabola);
   
7. 
   (ikki parallel chiziqlar);
   
8. 
   (ikki parallel mavhum chiziqlar);
   
9. 
   (ikki o’zaro ustma-ust tushuvchi chiziqlar).²³