Uchinchi darajali tenglama

Uchinchi darajali tenglama
Kompleks sonlar maydoni ustidagi ushbu
(1)
Ko’rinishdagi tenglama uchinchi darajali bir noma’lumli tenglama deyiladi. (1) tenglamaning xar ikki tomonini a ga bo’lib, ushbu tenglamaga ega bo’lamiz:
(2)
(2) da almashtirishni kiritib,
(3)
Tenglamani xosil qilamiz, (3) tenglamani soddalashtirgandan keyin
(4)
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. (4) tenglamadagi y o’zgaruvchi o’rniga ikkita u va v o'zgaruvchini y=u+v tenglik yordamida kiritamiz.
Natijada
(5)
tenglamaga ega bo’lamiz, (5) da u va v ni shunday tanlaylikki, natijada
3uv+p=0 (6)
shart bajarilsin. Bunday talab qo’yishimiz o’rinli, chunki

tenglamalar sistemasi y berilganda yagona echimga ega bo’ladi. (6) shartni e’tiborga olsak, (5) tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
u³ + v³=-q (7)
(6) dan bo’lgani uchun u³ va v³ Viet teoremasisa asosan biror ko’rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. Bu kvad­rat tenglamani echishdan
(8)
ni xosil qilamiz (8) dan

topilib, u va v ning xar biriga uchta qiymat, y o’zgaruvchi uchun esa to’qqista qiymat topiladi. Ulardan (6) shartni qanoatlantirganlarini olamiz. U xolda (4) tenglamaning barcha echimlori topiladi.
Agar (bunda son 1 dan chiqarilgan ildiz yani ) ning uchinchi darajali ildizlprining qiymatlari bo’lsa, unga mos ning uchinchi darajali ildizlari qiymatlari bo’ladi. Natijada (4) tenglama ushbu
(9)
ildizlarga ega bo’lib, unda bo’lganidan
(10)
yechim xosil bo’ladi.
(10) va ni etiborga olib, (1) tenglamaning ,
va ildizlari topiladi.
Endi xaqiqiy koeffitsientli uchinchi darajali tenglama ildizlarini tekshiraylik.
Quyidagi teorema uchinchi darajali tenglamaning xaqiqiy va mavhum ildizlari sonini aniqlaydi.
Teorema. Agar
(11)
tenglama xaqiqiy koeffitsientli tonglama bo’lib.
bo’lsa u xolda quydagi muloxazalar o’rinli bo’ladi:

1. 
   agar bo’lsa, (11) tenglama bitta xaqiqiy va ikkita, uzaro qo’shma mavhum ildizlarga ega bo’ladi;
   
2. 
   agar bo’lsa, (11) tenglamaning barcha ildizlari xaqiqiy va kamida bitta ildizi karrali bo’ladi;
   

c) agar bo’lsa, (11) tenglamaning barcha ildizlari xaqiqiy va turlicha bo’ladi,
Isboti. a) bo’lsa, u holda z₁ va z₂ ildizlar xaqiqiy va xar xil bo’ladi, Demak, ildizlardan kamida bittasi, masalan z₁ noldan farqli bo’ladi. son z₁, ning arifmetik ildizi bo’lsin. Shuning uchun u xaqiqiy son bo’ladi. tenglikka
asosan, v xam xaqikiy son bo’ladi bo’lgani uchun bo’ladi. Bundan munosabat o’rinli ekanligi ravshan. (10) ga asosan esa
(12)
bo’lib, u va v xaqiqiy xamda turli sonlar bo’lgani uchun (12) da x₁ xaqiqiy, x₂ va x₃ lar o’zaro qo’shma mavxum sonlar bo’ladi.
b) bo’lsin. Agar va bo’lsa, u xolda bo’ladi.
son ning arifmetik ildizi bo’lsin. xaqiqiy son bo’lgani uchun xaqiqiy son bo’ladi, ya’ni bo’ladi.
(12) formulaga asosan bo’ladi. Shunday qilib, bo’lganda, (11) tenglama uchta xaqiqiy ildizga ega va ulardan bittasi karrali bo’ladi.
Agar va q=0 bo’lsa, u xolda p=0 bo’ladi. Bu xolda (11) tenglama x³=0 ko’rinishda bo’lib, x₁= x₂=x₃ = 0 bo’ladi.
c) bo’lsin. U xolda bo’ladi. Demak, z₁, va z₂ sonlar o’zaro qo’shma mavxum sonlar ekan. Shuning uchun
(13)
va
(14)
munosabatlar o’rinli.
(6) va (8)ga ko’ra
(15)
Bo’lgani uchun (13) va (15) dan bo’lib bundan
(16)
kelib chikadi. (14) ga asosan munosabat xam o’rinlidir. (6) ga asosan bo’lib bundan kelib chiqadi.
(16) ga ko’ra
(17)
tenglik bajariladi. (15) (17) larga asosan

Yani
(18)
Tenglik o’rinli.
(12) formuladagi v ni bilan almashtirsak va etiborga olsak, x_1, x₂ va x₃ ildizlar xaqiqiy va xar ail ekani ma’lum bo’ladi. Xaqiqatdan , (12) formuladan kelib chiqadi. Faraz qlaylik x₁₌x₂ bo’lsin. U xolda (9) ga asosan bo’lib, bundan kelib chiqadi.
Bundan va tengliklar kelib chiqadi. Bu asa shartga qarama-qarshi.
Xuddi shunikgdek ekanligini xam ko’ratish mumkin.