6-Mavzu: Statistik baho. Statistik bahoga qo‘yiladigan talablar. Tanlanma o‘rtacha va tanlanma dispersiya

6-Mavzu:Statistik baho. Statistik bahoga qo‘yiladigan talablar. Tanlanma o‘rtacha va tanlanma dispersiya

Reja:

Taqsimot parametrlarining statistik baholari.
Siljimagan, effektiv va asosli baholar.
Bosh o‘rtacha qiymat va o‘rtacha tanlanma qiymat.
Bosh dispersiya va tanlanma dispersiyalar.

Statistik baholash nazariyasi masalaning qo‘yilishi nuqtai nazaridan parametrik va noparametrik hollarga bo‘linadi.

Agar bosh to‘plamning miqdoriy belgisini o‘rganish talab etilgan bo‘lsa, bu belgining taqsimotini aniqlaydigan parametrlarni baholash masalasi yuzaga keladi. Masalan, o‘rganilayotgan belgi bosh to‘plamda normal taqsimlanganligi oldindan ma’lum bo‘lsa, u holda matematik kutilmani va o‘rtacha kvadratik chetlanishni baholash (taqribiy hisoblash) zarur, chunki bu ikki parametr normal taqsimotni to‘liq aniqlaydi.
Odatda tanlamadagi ma’lumotlargina, masalan, miqdoriy belgining o‘zaro bog‘liqmas deb faraz qilinuvchi ta kuzatuv natijasida olingan
, , ... , qiymatlari ixtiyorda bo‘ladi. Baholanayotgan belgi xuddi shu ma’lumotlar orqali ifodalanadi. , , ... , larni bog‘liqmas , , ... , tasodifiy miqdorlar deb qarab, nazariy taqsimot noma’lum parametrining statistik bahosini topish kuzatilayotgan tasodifiy miqdorlarning bahola-nayotgan parametr taqribiy qiymatini beruvchi funksiyasini to-pishga teng kuchlidir deyish mumkin. Masalan, normal taqsimot-ning matematik kutilmasini baholash uchun belgining kuzatila-digan qiymatlarining o‘rta arifmetik qiymati bo‘ladigan funksiya xizmat qiladi.
Shunday qilib, nazariy taqsimot noma’lum parametri-ning statistik bahosi deb kuzatiladigan tasodifiy miqdorlarning ma’lum statistik ma’noda shu parametr haqiqiy qiymatiga yaqin funksiyasiga aytiladi.
Statistik bahoning baholanayotgan parametr haqiqiy qiy-matiga yaqinligini aniqlaydigan eng muhim xossalari siljima-ganlik, asoslilik va effektivlik xossalaridir.
nazariy taqsimotning noma’lum parametrining statistik bahosi bo‘lsin. Bosh to‘plamdan ko‘p marotalab hajmli tanlanmalar olib, umuman olganda, bir-biridan farq qiluvchi , , ... , baholarni olish mumkin. Shunday qilib, bahoni tasodifiy miqdor sifatida, , , ... , sonlarni esa uning mumkin bo‘lgan qiymatlari sifatida qarash mumkin.
Agar baho ning taqribiy qiymatini ortig‘i bilan ber-sa, u holda tanlanmadagi ma’lumotlar bo‘yicha topilgan har bir ( ) son ning haqiqiy qiymatidan katta bo‘ladi. Bu holda tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi (o‘rtacha qiymati) ham dan katta, ya’ni bo‘lishi ravshan. Agar bahoni kami bilan bersa, u holda bo‘lishi muqarrar.
Bu yerdan matematik kutilmasi baholanayotgan parametrga teng bo‘lmagan statistik bahodan foydalanish o‘lchashlar natijalarini tayinli bitta tomonga buzib ko‘rsatuvchi tasodifiy bo‘lmagan xatolar bo‘lmish tizimli xatolarga olib kelishi ko‘rinib turibdi. Shu sababga ko‘ra, baho matematik kutilmasining ba-holanayotgan parametrga tengligi ning ba’zi qiymatlari dan katta, boshqalari esa kichik ekanligi tufayli xatolarni yo‘-qotmasa ham, lekin tizimli xatolarga yo‘l qo‘yilmasligini kafo-latlaydi, chunki har xil ishorali xatolar deyarli teng miqdorda uchraydi.
Agar statistik bahoning matematik kutilmasi baholana-yotgan parametrga ixtiyoriy hajmdagi tanlanmada teng, ya’ni
(1)
bo‘lsa, bunday baho siljimagan baho deb ataladi.
Siljigan baho deb matematik kutilmasi baholanayotgan pa-rametrga teng bo‘lmagan bahoga aytiladi.
Biroq siljimagan baho baholanayotgan parametrga yaxshi yaqinlashishni har doim ham beravermaydi. Haqiqatan, ning mumkin bo‘lgan qiymatlari uning o‘rta qiymati atrofida ancha tarqoq bo‘lishi, ya’ni dispersiya anchagina katta bo‘lishi mumkin. Bunday holda bitta tanlanma ma’lumotlari bo‘yicha topilgan baho ning o‘rta qiymatidan va demak, baholanayotgan parametrning o‘zidan ham ancha uzoqlashgan bo‘lishi mumkin. Agar dispersiyaning kichik bo‘lishi talab etilsa, u holda katta xatoga yo‘l qo‘yishning imkoniyati yo‘q bo‘ladi.
Agar statistik baho tanlanmaning berilgan hajmida eng kichik mumkin bo‘lgan dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda bunday baho effektiv baho deb ataladi.
Agar statistik baho baholanayotgan parametrga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashsa, ya’ni ixtiyoriy uchun
да (2)
bo‘lsa, u holda bunday baho asosli baho deb ataladi. Masalan, agar siljimagan bahoning dispersiyasi da nolga intilsa, u holda bunday baho asosli baho ham bo‘ladi.

Bosh to‘plam Х miqdoriy belgiga nisbatan o‘rganilayotgan bo‘lsin.

bosh o‘rtacha qiymat deb bosh to‘plam belgisi qiymatlarining o‘rta arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar hajmli bosh to‘plam belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo‘lsa, u holda bosh o‘rtacha qiymat
(3)
ga teng bo‘ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo‘lgan taqdirda esa bosh o‘rtacha qiymat
(4)
ga teng bo‘ladi.
Agar bosh to‘plamning tekshirilayotgan Х belgisi tasodifiy miqdor deb qaralsa hamda (3) va (4) formulalar belgining matematik kutilmasi shu belgining bosh o‘rtacha qiymatiga teng degan xulosaga kelish mumkin:
. (5)
Endi bosh to‘plamni Х miqdoriy belgiga nisbatan o‘rganish uchun hajmli tanlanma olingan bo‘lsin.
o‘rtacha tanlanma qiymat deb tanlanma to‘plam belgisi-ning kuzatilayotgan qiymatlarining o‘rta arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar hajmli tanlanma belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo‘lsa, u holda o‘rtacha tanlanma qiymat
(6)
ga teng bo‘ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo‘lgan taqdirda esa o‘rtacha tanlanma qiymat
(7)
ga yoki
(8)
teng bo‘ladi.
O‘rtacha tanlanma qiymat bosh o‘rtacha qiymatning siljimagan bahosi ekan degan fikrga ishonch hosil qilaylik, ya’ni ning matematik kutilmasi ga teng ekanligini ko‘rsatamiz. ni tasodifiy miqdor va , , ... , larni bog‘liqmas, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar sifatida qaraymiz. Bu tasodi-fiy miqdorlar bir xil taqsimlangan bo‘lgani uchun ular bir xil sonli tavsiflarga, xususan, bosh to‘plam Х belgisining matematik kutilmasiga teng bo‘lgan bir xil matematik kutilmaga ega.
Shunga asosan,
(9)
ni olamiz.
Bosh va tanlanma to‘plamlar miqdoriy belgilari qiymatla-rining o‘zlarining o‘rtacha qiymatlari atrofidagi tarqoqligini tavsiflash uchun jamlanma tavsiflar — mos ravishda bosh va tanlanma dispersiyalar hamda o‘rtacha kvadratik chetlanishlar kiritiladi.
bosh dispersiya deb bosh to‘plam belgisi qiymatlarining ularning o‘rtacha qiymati dan chetlanishlari kvadratlarining o‘rta arifmetik qiymatiga aytiladi.
Agar hajmli bosh to‘plam belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo‘lsa, u holda bosh dispersiya
(10)
ga teng bo‘ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo‘lgan taqdirda esa bosh dispersiya
(11)
ga teng bo‘ladi.
Bosh o‘rtacha kvadratik chetlanish deb bosh dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:
. (12)


1-misol. Bosh to‘plam
1 – j a d v a l

	2	4	5	6
	8	9	10	3

taqsimot jadvali bilan berilgan. Bosh dispersiya va bosh o‘rtacha kvadratik chetlanish topilsin.

Yechish. Bosh o‘rtacha qiymatni topamiz:
.
Bosh dispersiyani topamiz:
.
Bosh o‘rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:
.
tanlanma dispersiya deb tanlanma to‘plam belgisining kuzatiladigan qiymatlarining ularning o‘rtacha qiymati dan chetlanishlari kvadratlarining o‘rta arifmetik qiymatiga ayti-ladi.
Agar hajmli tanlanma belgisining barcha , , ... , qiymatlari turlicha bo‘lsa, u holda tanlanma dispersiya
(13)
ga teng bo‘ladi.
Belgining , , ... , qiymatlari mos ravishda , , ... , chastotalarga ega va bunda bo‘lgan taqdirda esa tanlanma dispersiya
(14)
teng bo‘ladi.
Tanlanma o‘rtacha kvadratik chetlanish deb tanlanma dis-persiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:
. (15)