7- ma’ruza statistikada variatsiyani baholash usullari va dispersion tahlil asoslari

1-Misol. Variatsiya ko’rsatkichlarini hisoblash
Muammo. Quyidagi tanlama to’plam uchun dispersiya va standart chetlanishni hisoblang: 2, 3, 3, 3, 4.
Echish.Ko’rsatkichlar sonining ortib borishi bilan, s²va s ni hisoblash juda qiyin bo’lib boradi. Baxtimizga, biz 2.10-misolda ko’rsatganimizdek, ushbu qiymatlarni topishda statistik dasturiy ta’minotdan (yoki kalkulyatordan) foydanashimiz mumkin. Agar ushbu miqdorlarni qo’lda hisoblashingiz zarur bo’lsa, 62-betda keltirilgan qisqa formulardan foydalanishingiz maslahat beriladi.
Buni amalga oshirish uchun bizga ikkita yig’indi kerak: va ularga quyida keltirilgan tjadval ma’lumotlaridan foydalanib ega bo’lish mumkin:

x	x^2
2	4
3	9
3	9
3	9
4	16

Shundan so’ng quyidagini qo’llaymiz^:


Ortga nazar tashlash Tanlama to’plam o’lchami – n ortib borishi bilan, ushbu hisoblashlar juda toliqtiradigan bo’lib qolishi mumkin. Keyingi masaladagi kabi bizd s²va s ni topishda kompyuterdan foydalanishimiz mumkin.


7.3. Standart chetlanishni talqin qilish*
Biz ko’rib o’tdikki, agar bosh to’plamdan tanlab olingan ikkita to’plamning variatsiyalashuv darajasini taqqoslayotgan bo’lsak, kattaroq standart chetlanishga ega to’plam ko’proq variatsiyaga ega bo’ladi. Demak, biz nisbiy va qiyosiy asosda standart chetlanishni qanday tushintirishni bilamiz, ammo biz hali uning bitta to’plam variatsiyasini qanday ifodalashini tushintirmadik.
Standart chetlanish ma’lumotlar qatorining variatsiya ko’rsatkichini qanday ifodalashini tushinish uchun quyidagi savollarni hayoldan o’tkazamiz: o’rtachaning bitta standart chetlanishi orasida nechta ko’rsatkich mavjud? Ikkita standart chetlanish orasida nechta ko’rsatkich mavjud? Muayyan ma’lumotlar qatori uchun biz bu savollarga har bir intervaldagi ko’rsatkichlar sonini sanash orqali javob berishimiz mumkin. Biroq, har qanday ma’lumotlar qatoriga, ya’ni bosh to’plam yoki tanlama to’plamga taalluqli savollarga javob topish ancha mushkul.
2 va 3-jadvallar o’rtachaning bir, ikki yoki uchta standart chetlanishi orasiga nechta ko’rsatkich tushishi to’g’risidagi savollarga ikkita javobni taqdim etadi. Birinchisi, har qanday ma’lumotlar qatoriga taalluqli bo’lib, rus matematigi P.L.Chebishev (1821–1894) tomonidan isbotlangan nazariyadan kelib chiqadi. Ikkinchisi esa, qo’rg’on shaklli, simmetrik taqsimot qatorlariga (ularda o’rtacha, mediana va moda deyarli bir xil bo’ladi) tegishli bo’lib, yillar davomida to’plangan empirik dalillarga asoslangan. Biroq, 3-jadvaldagi intervallar uchun berilgan foizlar hatto taqsimot qatorlari biroz og’ishgan yoki assimetrik bo’lgan holda ham anchagina yaxshi tahminiy xulosalar berish imkonini beradi. E’tibor berish kerakki, ushbu qoidalar yoki bosh to’plamga yoki tanlama to’plamga nisbatan qo’llaniladi.


Tarjimai xol Pafnutiy L.Chebishev (1821-1894)
Ajoyib rus matematigi
P.L.Chebishev Moskva universitetining matematika sohasida o’qigan, keyinchalik magistrlik darajasini olgan. O’qishni tugatgach, Chebishev Sank-Peterburg universitetining (Rossiya) professor safiga qo’shiladi va mashhur “Peterburg matematika maktabining” namoyondasiga aylanadi. U shu erda o’rtachaning standart chetlanishlari orasida joylashgan ko’rsatkichlarning ehtimolligi haqidagi o’zining mashhur nazariyasini isbotladi. (2.6-jadval). Uning frantsuz tilini mukammal bilishi, ehtimollar nazariyasi sohasida xalqaro darajada tan olinishiga imkon berdi. Umuman olganda, Chebishev o’zining “butun dunyo matematigi” ekanligini aytib, “ajoyib rus matematigi” sifatida tanilishini maqsad qilgandi. Talabalardan biri Chebishevni “ajoyib ma’ruzachi” sifatida ta’riflaydi, “dars uchun juda mas’uliyatli. Qo’ng’iroq chalinishi bilan u darxol bo’rni tashlab, oqsoqlab auditoriyani tark etardi” deb eslaydi.