7-§. Shartli ehtim ollar. Hodisalarning bog‘Iiqsizligi Shartli ehtimolning ta’rifini kiritishdan oldin bir qancha

8-ta’rif. Я\,Л
2
,~~Яп- hodisalarning algebralari (berilgan bo'lsin. Agar barcha { Д .е Д . , i=\,2,...,n } hodisalar uchun 
P(AtAi ...All) = P(A,)P(A2)...P(A„) tenglik o'rinli bo‘Isa, u holda
algebralar (cr-algebralar) birgalikda bog‘liqsiz deyiladi.
30

---

8-§. ТоЧа ehtim ollik formulasi. Bayes formulas!
Al,A2r..,xA/l juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan va musbat
n
ehtimollarga ega bo‘lgan hodisalar bo‘lsin. Agar В c z \ ^ A f bo‘lsa, u
M
holda
P(B) = f iP(AJ) P ( B / A j ) 
(15)
h  i
formula o‘rinli. (15) formulaga to4 a ehtimollik form ulasi deyiladi.
(15) 
formulani isbotlash uchun B = AXB+ A2B + ...+ AnB teng­
likka murojaat qilamiz. Bu yerda A{B,A2B,...,A„B juft-jufti bilan bir­
galikda bo‘lmagan hodisalar ekanligi ravshan. Demak,
P(B) = f j P(BAj ).
Щ *
Bu tenglikning P(BAf ) qo'shiluvchilariga ko'paytirish formulasini
qoMlab, toMa ehtimollik formulasini hosil qilamiz.
ToMa ehtimollik formulasi, murakkab hodisalarning ehtimol- 
larini shartli ehtimollami qoMlab topishda asosiy vosita vazifasini 
bajaradi.
Ehtimolning cr-additivlik xossasidan foydalanib, (15) formulani 
AlyA2,... — sanoqli, juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar 
uchun umumlashtirish mumkin.
23-misol. Birinchi idishda 2 ta oq va 3 ta qora, ikkinchisida esa 
1 ta oq va 4 ta qora shar bor. Birinchi idishdan tavakkaliga 2 ta shar 
olib ikkinchisiga solingandan so‘ng ikkinchi idishdan tavakkaliga 
olingan shar oq shar ekanligi ehtimoli topilsin.
Yechish. AUA2 va A3 lar orqali birinchi idishdan ikkinchisiga
olib qo‘yilgan sharlaming mos ravishda har ikkalasi ham oq, har 
ikkalasi qora va turli rangda bo‘lish hodisalarini, В orqali esa ikkinchi 
idishdan olingan shar oq shar bo‘lish hodisasini belgilaymiz. U holda 
ehtimolning klassik ta’rifiga ko‘ra
i 
i 
_ cf _ з 
сШ  
б е з
* W « - = T = 7
=
Р Ш =
c \ 
1 0
’ 
1 
Щ 
1 0
’ 
3
C
5
c\ 
1 0
5
’

---

т
и
х) ^ ,
Р(В /
Л2) = у ,
Р ( В /
^ з ) = у
tengliklar o ‘rinli bo 'lad i. Izlanayotgan hodisaning ehtim oli, to‘ la 
ehtim ollik form ulasiga k o bra, quyidagicha b o ‘ladi:
P ( B ) = P ( A ]) P ( B ! A y) + P ( A 2) P ( B  / 4 ) + P (A 3) P ( B  / A3) =
j _ 2 + . L . I + J L i - —
10 7 
10 7 
10 7 ~35*
K o‘paytirish form ulasidan ushbu 
P ( S )P (A / Я) = №
4
) = 
P ( A W B
/
4
); * =
tenglikning o ‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bundan to 4la ehtim ollik 
form ulasiga tayanib topam iz: 
.
P( Ak I B )
= 
P( Ak) P<.BIAkl x Р Ш П В / А
к) 
k = l 
f]
(16)
P(S) 
I
P(Aj)P(B/Aj)
/ “ 1
(16) 
form ulaga Bayes form ulasi deyiladi. Bayes form ulasi 
m atem atik statistikada k eng q o ‘llaniladi. Statistik q o 'llanishlarda 
Al9A2,...,Att hodisalarni k o ‘pincha “gipotezalar”, P (A k) ehtim olni Ak 
gipotezaning ap rior (tajribagacha) ehtim oli P (A k / B) shartli ehti­
molni esa uning aposterior (tajribadan so'n ggi) ehtim oli deb ata- 
shadi.