7-Maruza. Boltsman taqsimoti. Molekulalarning tezlik komponentalari boʹyicha taqsimoti. Molekulalarning issiqlik harakatlari tezliklari boʹyicha taqsimoti. Maksvell taqsimotini tajribada tekshirish. Maksvell-Boltsman taq’simoti

MOLEKULALAR ISSIQLIK HARAKATLARINING TEZLIK KOMPONENTALARILARI BO‘YICHA TAQSIMOTI (MAKSVELL TAQSIMOTI)
Ixtiyoriy molekulaning ilgarilanma harakat kinetik energiyasi koordinataning uchta o‘qiga nisbatan harakatiga mos keluvchi uchta qo‘shiluvchi bilan tasvirlanadi:

Bu ( ) ga muvofiq, koordinataning ixtiyoriy X, Y va Z o‘qlari molekula harakatini tavsiflovchi taqsimotni keltirib chiqarishga imkon beradi. Taqsimotni X o‘q bo‘yica ko‘rib chiqamiz. Buning uchun berilgan vaqt momentida molekulalar tezliklari vektorini belgilab, ular boshini A nuqtaga olib kelamiz (35-rasm).

35-rasm 36-rasm
Bu nuqta atrofida fazoviy “tezliklar tikoni”, “ignalar” hosil bo‘ladi. Ular kichik ham, katta ham bo‘lishi mumkin. Molekulalar tartibsiz harakatlanadilar, ularning harakatlari uchun barcha yo‘nalishlar teng ehtimollikka ega. Aynan shuning uchun “tezliklar tikoni” sferik simmetriyaga ega bo‘lishi kerak. Buning uchun nuqta atrofida ixtiyoriy υ radiusga va Δυ qalinlikka ega bo‘lgan shar qatlam ajratish kerak (uning hajmi 4 πυ²Δυ ga teng). Bunda vektorlarning bir qismi shar qatlamda tugaydi, bunda bu qatlamning ixtiyoriy joyida uning birlik hajmiga tezlik vektorlari uchlarining tahminan bir xil soni to‘g‘ri keladi.
Boshi bir nuqtaga keltirilgan tezlik vektorlari uchlarini X o‘qiga proyeksiyalaymiz (35-rasm). Agar molekulalar soni N ta bo‘lsa, vektorlar proyeksiyasi υ_x ham N ta bo‘ladi (35-rasmda faqat 1 va 2 molekulaning proyeksiyasi belgilangan). Shu yol bilan x (υ_x) o‘qida hosil qilingan nuqtalar yig‘indisi X o‘qi bo‘ylab molekulalarning issiqlik harakatlari tezlik komponentalari bo‘yicha taqsimotini tavsiflaydi.
υ_x o‘qida υ_x dan υ_x Q Δυ_x gacha interval ajratamiz. Bu tezliklar intervaliga ayrim ΔN molekulalar soni to‘g‘ri keladi. ΔNG`N nisbat molekulalarning ajratilgan tezlik intervalida bo‘lish ehtimolidir. ga muvofiq ε<sub>i</sub> ni mυ<sub>x</sub><sup>2</sup>G`2 ga almashtirganda
(1)
deb yoza olamiz.
(1) ning chap va o‘ng tomonlarini Δυ_x ga bo‘lib va chegaraviy qiymatlarga o‘tib
(2)
ni hosil qilamiz. (2) dagi integral
ga teng.
Bizning misolda a= m/2kT, shuning uchun
(3)
Bu munosabat tezliklar bo‘yicha izlanayotgan taqsimotdir (Maksvell taqsimoti). Berilgan temperaturada dN/Ndυ_x funksiya faqat molekula tezligiga bog‘liq va molekulalarning υ_x dan υ_x+1 gacha bo‘lgan birlik intervalda bo‘lish ehtimolligini bildiradi (ehtimollik zichligi). Molekulalar tezliklarining boshqa komponentalari uchun (X ni Y va Z ga almashtirganda) (3) ga analogik bo‘lgan munosabat hosil bo‘ladi.
f(υ_x) bog‘liqlik grafik tarzda 36-rasmda ko‘rsatilgan. υ_x ning qiymati ham musbat, ham manfiy bo‘lishi mumkin. Juda katta tezliklarni ikkala yo‘nalish uchun topish ehtimolligi juda kam. (f(υ_x) funksiyaning grafigi koordinata boshidan uzoqlashgan sari pasayadi).
dN/N ga teng bo‘lgan f(υ_x)dυ_x ko‘paytma (molekulalarning υ_x dan υ_x+dυ_x gacha intervalda bo‘lish ehtimolligi) grafik tarzda asosi dυ_x bo‘lgan va yuqoridan f(υ_x) funksiya grafigi bilan chagaralangan elementar shakl yuzasi bilan tasvirlanadi (36-rasm).
integral tezliklari υ_1x dan υ_2x gacha bo‘lgan tezlik intervalida yotuvchi molekulalarning nisbiy sonini beradi. —∞ dan +∞ gacha olingan bunday ko‘rinishdagi integral birga tengdir:
(4)
(Molekulalarning —∞ dan +∞ gacha tezlik intervalida bo‘lish ehtimolligi birga teng).
Sistema temperaturasini oshirish (3) funksiya maksimumining kamayishiga olib keladi, f(υ_x) bog‘liqlik grafigi katta tezlikli molekulalar sonining oshishi evaziga deformasiyalanadi, biroq bunda (2) egri chiziq bilan chegaralanuvchi yuza saqlanadi.
Tezliklar bo‘yicha taqsimotni (2) bilgan holda tezlik υ_x ning o‘rtacha qiymatini, shuningdek tezlik funksiyasi bo‘lgan, masalan υ²_x kabi ixtiyoriy kattalikni topish mumkin.
Berilgan o‘qda, masalan, X o‘qida tezliklar komponentalari kvadratlarining o‘rtacha qiymatini topamiz (berilgan o‘q bo‘yicha molekula issiqlik harakatining o‘rtacha kvadratik tezligini):

( , , ) ga muvofiq:
(5)
υ_x o‘qni kichik υ_x intervallarga bo‘lib chiqamiz. Bunday har bir intervalga dN zarralar soni to‘g‘ri keladi. υ²_xdN ko‘paytma X o‘qi bo‘yicha ularning belgilangan dN qiymati uchun molekulalar tezlik komponentalari kvadratlari yig‘indisini aniqlaydi (Bu molekulalar uchun tezliklar komponentalari υ_x dan υ_x + dυ_x gacha intervalda yotadi). integral barcha molekulalar tezlik komponentalari kvadratlari yig‘indisini beradi va uni uni N ga bo‘lsak (5) uchun boshqacha munosabatni olamiz:
(6)
(3) ni qo‘llab
(7)
ni hosil qilamiz.
(7) dagi integralning qiymati

ga teng.
Shunga muvofiq,
(8)
36-rasmga e’tiborni qaratib, uning simmetrikligini payqash oson. Teng qiymatli intervallardagi molekulalar tezliklari musbat va manfiy komponentalari (±υ_x) ni topish ehtimolliklari bir xildir. Bu qandaydir o‘qqa nisbatan (masalan, X o‘qiga) zarralarning yarmi musbat yo‘nalishda, boshqalari esa manfiy yo‘nalishda harakatlanishini bildiradi. Aynan shuning uchun ixtiyoriy o‘qqa nisbatan zarralarning o‘rtacha tezligi (u yoki bu tomonga harakatni e’tiborga olgan holda) doimo nolga tengdir (issiqlik harakati uchun barcha yo‘nalishlar teng ehtimollikka ega).
Berilgan yo‘nalish bo‘yicha molekulalar tezlik komponentalarining o‘rtacha qiymatini topamiz (berilgan yo‘nalish bo‘yicha o‘rtacha arifmetik tezlik). Berilgan yo‘nalish sifatida X o‘qining musbat yo‘nalishni olamiz. Ko‘rilayotgan holda υ_x >0 deb, ( ) munosabat asosida
(9)
ni topamiz.
(3) asosida
(10)
ni hosil qilamiz.
Integral , u holda
(11)