7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi
Shartsiz optimallashtirish masalasi
Yüklə 111,74 Kb.
|
|
3. Shartsiz optimallashtirish masalasi
Faraz qilaylik, shartsiz ekstremum masalasining yechimini topish talab qilingan bo’lsin, ya’ni (X)= (x1,x2,...,xn) funktsiyaning maksimumini (minimumini) X=(x1,x2,...,xn)En nuqtalarda qidirish kerak bo’lsin. (X) funktsiya birinchi tartibli hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsa, uning ekstremumi quyidagi tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi: (X)/xj=0, j= (17) Demak, berilgan (X) funktsiya X0 nuqtada ekstremumga ega bo’lishi uchun bu nuqta (17) sistemaning yechimi bo’lishi kerak. Haqiqatan, agar (X) funktsiya X0 nuqtada mahalliy maksimumga erishsa, shunday >0 con mavjud bo’ladiki, ixtiyoriy X(X0) nuqta uchun ((X0) X0 nuqtaning kichik atrofidagi nuqtalar to’plami) (X) (X0) tengsizlik bajariladi. X(X0) nuqtada X=X0+hlj, 0<|h|< ko’rinishda yozamiz, bu yerda lj (j= ) birlik vektorlar. U holda 0<|h|< shartni qanoatlantiruvchi h uchun (X0+hlj)- (X0)0, j= (18) o’rinli bo’ladi. Bundan , h>0, (19) va , h<0. (20) (19) va (20) tengsizliklardan h+0 va h-0 da limitga o’tib mos ravishda va tengsizliklarni hosil qilish mumkin. Bulardan esa (21) tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi. Xuddi shunday yo’l bilan X0 nuqta f(X) funktsiyaga mahalliy minimum beruvchi nuqta bo’lgan holda ham (21) tengliklar X0 nuqtada f(X0) funktsiya mahalliy maksimum yoki minimumga ega bo’lishi uchun, shu nuqtada undan n ta x1, x2, ... , xn noma’lumlar bo’yicha olingan xususiy hosilalar 0 ga teng bo’lishi kerakligini ko’rsatadi. Lekin bundan (17) shartni qanoatlantiruvchi har qanday nuqta ham funktsiyaga mahalliy minimum yoki maksimum qiymat beradi degan xulosa kelib chiqmaydi. Masalan, bir argumentli f (x) funktsiya uchun f'(x)=0 shart egilish nuqtasida ham o’rinli bo’lib, bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega bo’lmasligi mumkin. Xuddi shuningdek, ikki argumentli f(x1, x2) funktsiya uchun shartlar egilish nuqtasida ham bajarilib, bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega bo’lmasligi mumkin. (17) sistemaning yechimlarini statsionar nuqtalar deb ataymiz. Berilgan f(X) funktsiya ekstremumga erishadigan nuqta statsionar nuqta bo’ladi, lekin har qanday statsionar nuqtada ham funktsiya ekstremumga erishavermaydi. Demak, (17) shart funktsiya ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shart, lekin u etarli shart emas. Quyidagi teorema statsionar nuqtaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari uzluksiz bo’lgan n o’zgaruvchili uzluksiz f(X)=f(x1, x2, ... , xn) funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo’lishi uchun etarlilik shartini ko’rsatadi. Yüklə 111,74 Kb. Dostları ilə paylaş:
|