7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi-fayllar.org
Teorema. X0 statsionar nuqta ekstremum nuqta bo’lishi uchun shu nuqtada Gesse matritsasi deb ataluvchi
matritsa musbat aniqlangan (bu holda X0 - minimum nuqta) yoki manfiy aniqlangan (bu holda X0 - maksimum nuqta) bo’lishi etarlidir.
Isboti. Teylor teoremasiga asosan, 0<<1 da
f(X0+h)-f(X0)=f(X0)h+1/2 h'H[X0+ h]h, (22)
bu yerda h=(h1, h2, ..., hn) n o’lchovli vektor ustun, h' esa n o’lchovli vektor qator va |hj| ( ) etarli darajada kichik son, H[X0+ h] - Gesse matritsasining X0+ h nuqtadagi qiymati. - n o’lchovli gradient deb ataluvchi vektor.
X0 nuqta statsionar nuqta bo’lganligi uchun bu nuqtada (21) o’rinli bo’ladi, demak, bu holda
f(X0)=0. (23)
(7.22) va (7.23) dan
f(X0+h)-f(X0)= 1/2 h'H[X0+ h]h. (24)
Faraz qilaylik, X0 minimum nuqta bo’lsin. U holda
f(X0+h)>f(X0)
tengsizlik ixtiyoriy h0 uchun o’rinli bo’ladi, demak, bu holda
1/2 h'H[X0+ h]h>0.
f(X) funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo’lgani uchun 1/2 h'Hh miqdor X0 va X0+ h nuqtalarda bir xil ishorali bo’ladi va h'H[X0]h kvadratik formadan iborat bo’ladi. Shuning uchun bu formaning (jumladan h'H[X0+ h]h formaning) musbat bo’lishi H[X0] ning musbat aniqlangan matritsa bo’lishiga boqliq.
Demak, X0 statsionar nuqta minimum nuqta bo’lishi uchun shu nuqtadagi Gesse matritsasi (H[X0]) musbat aniqlangan bo’lishi etarli ekan. Xuddi shunday yo’l bilan X0 statsionar nuqtaning maksimum nuqta bo’lishi uchun H[X0] ning manfiy aniqlangan bo’lishi etarli ekanligini ko’rsatish mumkin.
