7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

Teorema. X₀ statsionar nuqta ekstremum nuqta bo’lishi uchun shu nuqtada Gesse matritsasi deb ataluvchi

matritsa musbat aniqlangan (bu holda X₀ - minimum nuqta) yoki manfiy aniqlangan (bu holda X₀ - maksimum nuqta) bo’lishi etarlidir.

Isboti. Teylor teoremasiga asosan, 0<<1 da
f(X₀+h)-f(X₀)=f(X₀)h+1/2 h'H[X₀+ h]h, (22)
bu yerda h=(h₁, h₂, ..., h_n) n o’lchovli vektor ustun, h' esa n o’lchovli vektor qator va |h_j| ( ) etarli darajada kichik son, H[X₀+ h] - Gesse matritsasining X₀+ h nuqtadagi qiymati. - n o’lchovli gradient deb ataluvchi vektor.
X₀ nuqta statsionar nuqta bo’lganligi uchun bu nuqtada (21) o’rinli bo’ladi, demak, bu holda
f(X₀)=0. (23)
(7.22) va (7.23) dan
f(X₀+h)-f(X₀)= 1/2 h'H[X₀+ h]h. (24)
Faraz qilaylik, X₀ minimum nuqta bo’lsin. U holda
f(X₀+h)>f(X₀)
tengsizlik ixtiyoriy h0 uchun o’rinli bo’ladi, demak, bu holda
1/2 h'H[X₀+ h]h>0.
f(X) funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo’lgani uchun 1/2 h'Hh miqdor X₀ va X₀+ h nuqtalarda bir xil ishorali bo’ladi va h'H[X₀]h kvadratik formadan iborat bo’ladi. Shuning uchun bu formaning (jumladan h'H[X₀+ h]h formaning) musbat bo’lishi H[X₀] ning musbat aniqlangan matritsa bo’lishiga boqliq.
Demak, X₀ statsionar nuqta minimum nuqta bo’lishi uchun shu nuqtadagi Gesse matritsasi (H[X₀]) musbat aniqlangan bo’lishi etarli ekan. Xuddi shunday yo’l bilan X₀ statsionar nuqtaning maksimum nuqta bo’lishi uchun H[X₀] ning manfiy aniqlangan bo’lishi etarli ekanligini ko’rsatish mumkin.