7-mavzu: Toʻplamlar va ular ustida amallar. Bir oʻzgaruvchili funksiya. Murakkab funksiya. Ketma-ketlik va uning limiti

7-mavzu: Toʻplamlar va ular ustida amallar. Bir oʻzgaruvchili funksiya. Murakkab funksiya. Ketma-ketlik va uning limiti.

1. Ketma-ketlikning limiti. Agar ixtiyoriy soni uchun shunday soni topilsaki, barcha n>N lar uchun shart o‘rinli bo‘lsa, u holda soni ketma-ketlikning limiti bo‘ladi va ko‘rinishida yoziladi.

2. o‘zgarmas songa funktsiyaning x o‘zgaruvchi soniga intiladigan qiymati deyiladi, agarda ixtiyoriy soni uchun shunday soni topilsaki, shartning bajarilishidan shartning bajarilishi kelib chiqsa, u quydagicha yoziladi: .
3. O‘ng va chap limitlar. Agar x va bo‘lsa, u holda yozuv, agar va bo‘lsa, u holda yozuv ishlatiladi. Ushbu
va ,
limitlar mavjud bo‘lsa, ularni mos ravishda funktsiyaning nuqtadagi o‘ng va chap limitlari deb yuritiladi.
1. - yaqinlashuvchiligini tekshiring.
Yechish. demak yaqinlashuvchi.
2. yoki -1, 1, -1, 1, … ketma-ketlik limitga ega emasligini ko`rsating.
Yechish. Haqiqatan, limit sifatida qanday sonni tasavvur qilmaylik 1 yoki – 1, <0,5 da, tengsizlik qanoatlantirilmaydi. Bu ketma-ketlikning barcha toq nomerlar – 1, juftlari 1 ga teng.
3. Ketma-ketmalikning n→ dagi limitini hisoblang.

Yechish. Bu yerda yig`indining limiti haqidagi 4 – xossadan foydalanib bo`lmaydi, chunki ketma-ketliklar yaqinlashuvchi emas. Shuning uchun x_n ni ifodasini uning qo`shmasiga ko`paytirib bo`lamiz.

Misol. , ketma-ketlikni ko‘raylik. Kal‘kulyatorda uning bir nechta hadlarini (taqtibiy) hisoblasak:


 ketma-ketlikning hadlari monoton o‘sib borishini va yuqoridan chegaralangan ekanligini sezishimiz mumkin. Albatta, buni matematik isbot qilish mumkin.
Demak, limit mavjud va uning qiymati:
soniga teng.
Misol. ,
bu yerda biz va

tengliklardan foydalandik.
Agar cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladigan a son mavjud bo‘lmasa, ketma-ketlik yaqinlashuvchi emas deyiladi.
Masalan, ,
ketma-ketliklar yaqinlashuvchi emas.
Misol. .
Misol. bo‘lsin. U holda
.
Demak, ketma-ketlik cheksiz kichik, chunki surati chegarlangan, mahraji esa monoton o‘suvchi va chegaralanmagan.
Misollar: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Keltirilgan misollardagi ketma-ketliklar umumiy hadi kasr ko‘rinishida bo‘lib, suratlari chegaralangan, mahrajlari esa noldan farqli va chegaralanmagan o‘suvchi ketma-ketliklarni tashkil etadi.
Misol.  to‘plam 2 ga karrali,  esa 3 ga karrali sonlar to‘plami bo‘lsin. U holda to’plam, 6 ga karrali sonlar, to’plam, yoki 2 ga yoki 3 ga karrali barcha sonlar, to’plam, 3 ga bo‘linmaydigan juft sonlar, to’plam, 3 ga karrali toq sonlar to‘plamidan iborat bo'ladi. Shunday qilib,
, ,
.
Masalalar
Limitlarni hisoblang:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
1-15. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. . 10.
11. 12.
13. 14.
15.

16. Agar bo’lsa, , , , , , larni toping.

17. Agar bo’lsa, , , , , ni toping.

18-21. Quyidagi funksiyalarning har biri ko’rsatilgan oraliqlarda monoton ekanligini ko’rsating:

18. a)
b)
19. a)
b)
20. a)
b)
21. a)
b)

22-33. Quyidagi funksiyalarning qiymatlar to’plamini toping:

22. 23.
24. 25.
26. 27.
28. 29.
30. 31.
32. 33.

34-45. Quyidagi funksiyalarni juft yoki toqligini tekshiring:

34. 35.
36. 37.
38. 39.
40.
41.
42. 43.
44. 45.

46-55. Funksiyalarni asosiy davrini toping:

46. 47.
48. 49.
50. 51. .
52. 53.
54. 55.

56-59. Quyidagi funksiyalarni teskari funksiyalarini quring:

56. 57.
58. 59.