86-ma’ruza Ikki karrali integralning ba’zi bir tatbiqlari 10. Tekis shaklning yuzi

4-misol. Tekislikda radiusli doiraviy plastinka berilgan bо‘lib, uning har bir nuqtadagi zichligi shu nuqtadan koor­di­na­talar boshigacha bо‘lgan masofaga propor-sional. Doira­viy plastinkaning massasi topilsin.

◄ Dekart koordinatalar sistemasining koordinatalar bo­shi­ga doi­ra­viy plastinkaning markazini joylashtiramiz. Unda plastinkaning nuqtasi­dan koordinatalar boshigacha bо‘lgan masofa

bо‘lib, plastinka zichligi

bо‘ladi, bunda – proporsionallik koeffitsiyenti.

(8) formulaga kо‘ra plastinka massasi

bо‘ladi, bunda

.

Ikki karrali integralda

almashtirish bajarib, uni hisoblaymiz:

. ►

Ikki karrali integrallar yordamida statistik momentlar

, ( о‘qiga nisbatan),

, ( о‘qiga nisbatan)

og‘irlik markazining koordinatalari:

, ,

inersiya momentlari:

, ( о‘qiga nisbatan),

, ( о‘qiga nisbatan)

(koordinatalar boshiga nisbatan)

topiladi.

Mashqlar
1. Tekislikda, ushbu

,

parabolalar bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.

2. Fazoda quyidagi

, ,

sirtlar bilan chegaralangan jismning xajmi topilsin.