Algebra va sonlar nazariyasi-1

[a,b] da qiymati 1 ga teng bŏlgan funktsiya.
[a,b] da nol’ qiymat qabul qilmaydigan funktsiyalar
tZ	Kommutativ xalqa	Mavjud emas	Ma’noga ega emas.
Q [ ]	Kommutativ xalqa	1=1+0	Noldan farqli elementlar

Eslatma. Shuni ta’kidlash lozimki, agar birli xalqada 10 shart bajarilsa, u holda nol’ element teskarilanuvchi bŏla olmaydi, chunki  b uchun 0bh0 1 . Bundan tashqarir, 10 munosabat xalqaning elementlar soni birdan katta bŏlishiga teng-kuchli, chunki a  A g’{0}  (a1=a0 )  (a0=0 ) munosabat ŏrinli. Shuning uchun keyingi mulohazalarimizda biz xalqa nolmas xalqa deb faraz qilamiz.
A xalqada a,bA a-b=a+(-b) tenglik yordamida ayirish amalini kiritamiz.
1-teorema. a) Kŏpaytirish amali ayirish amaliga nisbatan distributiv bŏladi, ya’ni (a,b,sA) (a-b)s=as-bs, s(a-b)=sa-sb munosabatlar ŏrinli bŏladi.
b) aA a0=0a=0.
Isbot. a). (a,b,sA) (a-b)s+bs=((a-b)+b)+s=as ((a-b)s+bs)- bs= as-bs, ya’ni
(a-b)s=as-bs. s(a-b)=sa-sb tenglik xuddi shunday isbot qilinadi.
b). a) ga kŏra a0= a(b - b)= ab- ab=0, 0a= (b - b)a= ba- ba=0.
Ta’rif. ab=0 munosabatni qanoatlantiruvchi nolmas a, b elementlar nolning bŏluvchilari deyiladi.
2-teorema . Birli xalqada teskarilanuvchi element nolning bŏluvchisi bŏla olmaydi.
Isbot. a- teskarilanuvchi bŏlib, u uchun ab=0 tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli b element mavjud bŏlsin.
ab=0 tenglikka asoslanib va a^–1(ab)= b tenglikdan foydalanib b=0 ziddiyatli tenglikka kelamiz. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Sonli xalqalar nolning bŏlyvchilari mavjud emas, ammo [a,b] da f(x) = x+ x,
g(x)= x - x tengliklar yordamida aniqlangan C[a,b] xalqa elementlari nolning bŏluvchilari bŏladi, chunki f(x) g(x) =( x+ x) ( x - x) =  x ² - x² = 0.
Butunlik sohasi, maydon va jism tushunchalari.
Ta’rif. Nolning bŏluvchilariga ega bŏlmagan A kommutativ xalqa butunlik sohasi deyiladi.
Ta’rif. A birli kommutativ xalqada har bir noldan farqli elementi teska-rilanuvchi bŏlsa, u holda A kommutativ xalqa maydon deyiladi.
Ushbu ta’rifdan va yuqorida keltirilgan jadvaldan foydalansak Q , R ,
Q [ ] xalqalarni maydon bŏlishiga amin bŏlamiz.
Ta’rif. Sonlardan iborat bŏlgan maydon sonli maydon deyiladi.
Eslatma. 2-teoremaga kŏra ixtiyoriy maydonda nolning bŏluvchilari yŏq, demak u butunlik sohasi.
Ta’rif. a va b 0 F maydon elementlari bŏlsin. a sŏratli va b maxrajli kasr deb maydonning ab^-1 kŏrinishdagi elementiga aytiladi va u orqali belgila-nadi.
3-teorema (kasrlar ustida amallar). F maydonda qŏyidagi xossalar ŏrinli:
(a) kasrning asosiy xossasi: (c0) ; (b) kasrlarni qŏshish qoidasi: , ; (v) kasrlarni qŏpaytirish qoidasi : ;
(g) , agar ab  0.
Isbot. (a) Xaqiqatan, = (ac)(bc)^-1 = acc^-1b = ab^-1 = .
(b) = (a + c)b^-1 = ab^-1 + cb^-1 = bŏlgani uchun (a) ga kŏra bŏladi.
Sholgan hollar xuddi shunday tekshiriladi.
Maydon tushunchasini umumiy holga umumlashtirish natijasida jism tushunchasi vujudga keladi.
Ta’rif. A birli xalqada har bir noldan farqli elementi teskarilanuvchi bŏlsa, u holda A xalqa jism deyiladi.
Nokommutativ bŏlgan jismga misolni qŏrish murakkab masaladir. Shunga qaramasda biz shunday misolni uchinchi semestrda keltiramiz.
5.3. Xulosalar. 1) Bugungi ma’ruza shuni kŏrsatdiki, ixtiyoriy maydonda xuddi sonli maydonlarga ŏxshab «arifmetik» xossalarga ega bŏlgan qŏshish, ayirish, kŏpaytirish va nolmas elementga bŏlish amallari mavjud ekan. Bu esa mulohazalarni nafaqat sonli maydonlar uchun, balki ixtiyoriy maydonlarda olib borishimizga zamin yaratdi.
2) Gruppa, xalqa, maydon tushunchalari algebra tushunchasini xususiy holi bŏlgani bois, ular uchun algebralar gomomorfizmi va izomorfizmi kabi tushunchalar bevosita beriladi va mustaqil ta’lim olishda ŏrganishga tavsiya etiladi.
3) Nokommutativ bŏlgan jismga misolni qŏrish murakkab masaladir. Shunga qaramasda biz shunday misolni uchinchi semestrda keltiramiz.
6. Tayanch tushunchalar: xalqa, maydon, jism, kommutativ xalqa, birli xalqa, chekli xalqa, xalqaning nol’ elementi, sonli xalqa, nolning bŏluvchilari, kasrlar va ular ustida amallar.

7. 
   Nazorat savollari.
   

1. 
   Xalqa ta’rifini bayon qiling.
   
2. 
   Kommutativ xalqa deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.
   
3. 
   Birli xalqa deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.
   
4. 
   Chekli xalqa deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.
   
5. 
   Sonli xalqaga misol keltiring. U qanday xossalarga ega bŏladi?
   
6. 
   Butunlik sohasi deb nimaga aytiladi?
   
7. 
   Nolning bŏluvchilari deb nimalarga aytiladi? Misol keltiring.
   
8. 
   Maydonda nolning bŏluvchilari mavjudmi? Javobingizni asoslab bering.
   

9) Maydonda kasrlar va ular ustida amallar qanday aniqlanadi?

10. 
    Jism deb nimaga aytiladi?