Algebra va sonlar nazariyasi-1

12-ma’ruza

1. Mavzu: Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi. Kompleks sonlar maydoni.

2. Maqsad: Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi xaqida tushuncha berish. Kompleks sonining algebraik kŏrinishi, qŏshma kompleks soni, kompleks sonning moduli kabi tushunchalar berish va ularning xossalarni ŏrganish.
3. Metodik ta’minot: a) adabiyot: [1] (95-98 b.b.), [2] (150-157 b.b.), [3]( 164-167 b.b.)
b) ShEHM, proektor.
4. Reja:

1. 
   Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi.
   
2. 
   Kompleks sonlar xossalari.
   

5. Mavzu bayoni.
5.1.Kirish. Oldingi ma’ruzalarda natural sonlar sistemasi butun sonlar sistemasigacha, butun sonlar sistemasi esa ratsional sonlar sistemasigacha ketma-ket kengaytirildi. Natijada qŏshish, ayirish, kŏpatirish va noldan farqli songa bŏlish amallarga nisbatan yopiq bŏlgan ratsional sonlar maydonini hosil qildik. Bundan keyin norma tushunchasi orqali ifodalanadigan uzluksizlik xossasini kiritib xaqiqiy sonlar sistemasini qurdik. Shunga qaramasdan, maktabdan ma’lumki, x² +1 = 0 algebraik tenglama xaqiqiy echimlarga ega emas. Bu esa shunday tenglamalarni echimlarini ŏz ichiga olgan xaqiqiy sonlar maydonining kengaytmasini qŏrish masalasini dolzarb masalaga aylantirdi.
«Kompleks son» terminini ilk bor L.Karno 1803 yilda kiritgan. Bundan keyin bu termin Gauss (1828) ŏzining asarlarida qŏlladi.
Kompleks sonlarini ital’yan matematiklar bŏlmish Kardano (1545) va Bombelli (1572) ŏzlarining izlanishlarida ishlatish boshladilar.
Bombelli kompleks sonlar ustida algebraik amallarni formal ravishda asoslagan.
5.2. Asosiy qism.
Kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi.
Ta’rif. Kompleks sonlar sistemasi deb qŏyidagi aksiomalarga buysina-digan (2,2,1,0,0,0) turdagi S= (S , +,  , ’ 0,1, i) algebraga aytiladi :
1. R  C ;
2. ”+”, ”” amallar kommutativ va assotsiativ binar amallardir;
3. ”” amal ”+” amalga nisbatan distributiv.
4. 0 - + amaliga nisbatan neytral element
5. 1 – ”” amaliga nisbatan neytral element
6. S tŏplamdagi sonlarni qŏshish va kŏpaytirish amallari R tŏplamdagi ”+”, ”” amallar bilan ustma-ust tushadi
7  z C  - z  C z+ (-z)=0
8  z C g’ {0}  z ^-1  C zz ^-1 =1
9 i² +1=0
10. C - minimal, ya’ni u 1-9 shartlarni qanoatlantiradigan xos qism tŏplamga ega emas.
Ta’rifdan kŏrinib turibdiki, C - maydon bŏladi. Ushbu maydonni biz kompleks sonlar maydoni, uning elementlarini esa kompleks sonlar yoki sonlar deb ataymiz.
1-teorema. C - R maydon bilan ustma-ust tushmaydi.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz: C = R bŏlsin. Xususiy holda i  R.
R maydonning kerakli aksiomalarni eslatamiz.
a) Tartib munosabatning xossasi: ixtiyoriy x  R va u  R uchun yoki x < u yoki u< x yoki x = u munosabatlar bajariladi
b) Agar x z>0  x z < y z (kŏpaytirish amalini monotonligi).
a) shartga kŏra i  R uchun yoki 0 < i yoki i < 0 yoki 0 = i munosabatlar bajariladi
Agar 0 < i bŏlsa, b) aksiomada x,y, z ŏrniga mos ravishda 0, i , i sonlarini qŏyib
0= 0² < i  i = i² = -1 ziddiy tengsizlikni hosil qilamiz.
Agar i < 0 bŏlsa, b) aksiomada x,y, z ŏrniga mos ravishda i , 0 , - i sonlarini qŏyib

• 
  i  i = - i² = 1<0 ziddiy tengsizlikni hosil qilamiz.
  

i = 0 holi ŏz-ŏzidan ravshan .
+osil bŏlgan ziddiyatdan teoremamiz rostligi kelib chiqadi.
Kompleks sonlar xossalari.
2-teorema. Ixtiyoriy z kompleks son z=a+bi kŏrinishda yagona usulda ifodala-nadi (bu erda a, b – xaqiqiy sonlar) .
Isbot. Biz z=a+bi kŏrinishdagi barcha kompleks sonlar tŏplamini M orqali belgilaymiz. M tŏplamning ixtiyoriy a+bi va s+di elementlari uchun qŏshish va kŏpaytirish amallarini (a+bi)+(s+di) = (a+s)+(b+d)i; (a+bi)(s+di)=(ac-bd)+(ac+bd)i tengliklar yordamida kiritsak 1-9 - aksiomalarni bajarilgani bevosita tekshirish mumkin. Demak, 10 -aksiomaga kŏra M=S.
Yagonalikni isbotlash uchun a+bi=s+di tenglikni olamiz.
2-3 - aksiomalarga kŏra, a-s=(b-d)i tenglikni =osil qilamiz. Agar b d bŏlsa, u holda ushbu tenglikdan i=(b-d)/ (a-s) tenglikka ega bŏlamiz, ya’ni i – xaqiqiy son.
Shu ziddiyatdan yagonalik kelib chiqadi.
Ta’rif. z= a+bi, a, b  R., kŏrinish kompleks sonining algebraik shakli deyiladi. a va b sonlar mos ravishda z= a+bi kompleks sonining mos ravishda xaqiqiy va mavhum qismlari deb yuritilib, ular uchun a=Re z, b=Im z belgilash qabul qilingan.
Ta’rif. z= a+bi, a, b  R., songa qŏshma son deb = a-bi kŏrinishdagi komp-leks soniga aytiladi.
3-teorema [2] . Ixtiyoriy z , z₁ , z₂ kompleks sonlar uchun qŏyidagi tengliklar ŏrinli
a) ; b) ; v) ; g) z=  z R.;
e) z =(Re z)²+(Im z)² ; j) z+ =2Re z; z) z - =2 Im z
Ta’rif. z= a+bi, a, b  R., sonning moduli deb | z |= kŏrinishdagi songa aytiladi.
4-teorema [2] . Ixtiyoriy z , z₁ , z₂ kompleks sonlar uchun qŏyidagi munosabatlar ŏrinli
a) | z₁  z₂ |  | z₁ | + | z₂ |;
b) | z | =0  z =0;
v) | | z₁ | | z₂ | |  | z₁ + z₂ |
5.3. Xulosa. Ushbu ma’ruzada kompleks sonlarning aksiomatik nazariyasi xaqida tushunchaga ega bŏldik. Ushbu nazariyani ziddiyatsizligi [3] da isbotlangan. 2-teore-maning isbotida ikkita z₁ =(a+bi) va z₂=(s+di) sonlarning yig’indisi va kŏpaytmasi uchun z₁ + z₂=(a+s)+(b+d)i va z₁ z₂ = (ac-bd)+(ac+bd)i formulalar ŏrinli bŏlgani ta’kidlandi. Biz shu formulalarni eslab qolishimiz lozim.
6.Tayanch tushunchalar: kompleks soni, algebraik shakl, qŏshma kompleks soni, kompleks sonning moduli.
7. Nazorat savollari.

1. 
   Kompleks sonlar aksiomatikasini bayon eting.
   
2. 
   Kompleks sonlar sistemasi xaqiqiy sonlar sistemasi bilan ustma-ust tushadimi? Javobingizni asoslab bering.
   
3. 
   Komleks sonining algebraik kŏrinishi xaqida teoremani isbot qiling.
   
4. 
   Kompleks sonining moduli ta’rifini bering va xossalarini keltiring.
   
5. 
   Kompleks soniga qŏshma kompleks sonining ta’rifini bering va xossalarini keltiring.
   
6. 
   Algebraik kŏrinishda berilgan ikkita kompleks son yig’indisi va kŏpaytmasi qanday ifodalanadi?