Algebra va sonlar nazariyasi-1

4,5 -ma’ruzalar

1. Mavzu: Tŏplam. Tŏplam osti. Tŏplamlar ustida amallar va ularning xossalari.

2. Maqsad: talabalarni tŏplamlar nazariyasining asosiy tushunchalari bilan tanishtirish.
3. Metodik ta’minot:
a) adabiyot: [1] ( 35-39 b.b.), [2] (5-14 b.b.), b) ShEHM, proektor.
4. Reja:

1. 
   Tŏplamlar haqida tushuncha.
   
2. 
   Qism tŏplam (tŏplamosti) .
   
3. 
   Tŏplamlar ustida amallar va ularning xossalari.
   

5. Mavzu bayoni.
5.1. Kirish. Tŏplam - hozirgi zamon matematikasining asosiy tushunchalaridan biri. Nafaqat matematikada, balki boshqa fanlarda ma’lum ob’ektlar majmuini bir butun narsa deb qarashga tŏg’ri keladi. Aytaylik, biolog biror ŏlkadagi ŏsimliklar va hayvonlar dunyosini ŏrganar ekan, u jonzotlarni turlar bŏyicha, turlarni esa urug’lar bŏyicha sinflarga ajratib chiqadi. Har bir tur yaxlit bir butun deb qaraladigan jonzotlar majmuidir.
5.2. Asosiy qism.
Tŏplamlar haqida tushunchalar.
Majmualarning matematik tavsifini berish uchun tŏplam tushunchasini nemis matematigi G.Kantor (1845-1918) kŏyidagicha kiritgan: «Tŏplam fikrda bir butun deb qaraluvchi kŏplikdir».
Tŏplamni tashkil etuvchi ob’ektlar shu tŏplamning elementlari deyiladi.
Tŏplam lotin yoki grek alifbosining bosh harflari orqali, uning elementlari esa kichik harflar orqali belgilanadi.
Elementlari soni chekli bŏlgan tŏplam chekli tŏplam, aks holda cheksiz tŏplam deb yuritiladi.
Elementlari a,b,c,… , bŏlgan A tŏplam A = {a,b,c,…} orqali belgilanadi.
Masalan, N={1,2,3,…,n,…}, Z={…,-n,…,-3,-2,-1,0, 1,2,3,…,n,…} mos ravishda natural sonlar va butun sonlar tŏplamlaridir.
Ayrim hollarda A tŏplamning har bir elementi P(x) predikatni chin mulohazaga aylantiradi, shunda A tŏplam A = { x : P(x)} yoki A = { x / P(x)} orqali belgilanadi. Bu erda P(x) predikat A tŏplamni aniqlovchi xarakteristik xossa deyiladi.
Masalan, A = { x / x²+2x-3=0} tŏplam x²+2x-3=0 tenglamaning ildizlari tŏplami, Q={r / r= , p – butun, q – natural son} tŏplam ratsional sonlar tŏplami.
Agar a ob’ekt A tŏplamning elementi bŏlsa, ushbu munosabat a  A kabi yoziladi va a ob’ekt A tŏplamga tegishli deyiladi, aks holda, agar a ob’ekt A tŏplamning elementi bŏlmasa, ushbu munosabat a  A kabi yoziladi va a A
tŏplamga tegishli emas deyiladi.
Masalan, 1Q ,  Q bŏladi.
Ta’rif. Biror elementga ham ega bŏlmagan tŏplam bŏsh tŏplam deyiladi va  orqali belgilanadi.
Masalan, { x / (xQ)  ( x²+2x+3=0)} tŏplam bŏsh tŏplam bŏladi.
Qism tŏplam (tŏplamosti) .
Ta’rif. Agar B tŏplamning barcha elementlari A tŏplamga tegishli bŏlsa, u holda B tŏplamga A tŏplamning qism tŏplami (tŏplamostisi) deyiladi va B A yoki B A orqali belgilanadi.
Masalan, NZ Q.
 tŏplam ixtiyoriy tŏplamning qism tŏplami deb qabul qilingan.
A va  tŏplamlar A tŏplamning xos qism tŏplamlari deb yuritiladi.
Ta’rif. B A va A  B shartlarini bir vaqtda qanoatlantiruvchi A va B tŏplamlar ŏzaro teng deyiladi va ushbu munosabat A =B orqali belgilanadi.
Masalan, A= { x / x²+2x-3=0} va B={ 1,-3} tŏplamlar teng.
Tŏplamlar ustida amallar va ularning xossalari.
Ta’rif. A₁ , A₂ , …, A_n tŏplamlarning birlashmasi deb shu tŏplamlarning kamida bittasiga tegishli bŏlgan barcha elementlardan tuzilgan tŏplamga aytiladi va u A₁  A₂  …  A_n orqali belgilanadi.
Masalan, A  B={ x / (x A )  (xB)} tŏplam ikkita A va B tŏplamlarning birlashmasidir.
Misol. A={1,2,3}, B =0,1,2} bŏlsa, A  B=(0,1,2,3} bŏladi.
Tŏplamlar birlashmasini chekli sondagi A₁ , A₂ , …, A_n tŏplamlar uchun ham kiritish mumkin.
Tŏplamlar birlashmasi qŏyidagi xossalarga ega [1,2]:
1. A  B= A  B – kommutativlik xossasi;
2. A  (B S)= (A  B)  S – assotsiativlik xossasi;
3. B A  A  B = A.
3 xossadan A  A= A va A   = A xossalar kelib chiqadi.
Ta’rif. A₁ , A₂ , …, A_n tŏplamlarning kesishmasi deb shu tŏplamlarning barcha umumiy elementlardan tuzilgan tŏplamga aytiladi va u A₁  A₂  …  A_n orqali belgilanadi.
Masalan, A  B={ x / (x A )  (xB)} tŏplam A va B tŏplamlarning kesishmasidir.
Misol. A={1,2,3}, B ={0,1,2} bŏlsa, A  B={1,2} bŏladi.
Tŏplamlar kesishmasi qŏyidagi xossalarga ega [1,2]:
1. A  B= A  B – kommutativlik xossasi;
2. A  ( B  S) = (A  B)  S – assotsiativlik xossasi;
3. B A  A  B = B.
3 xossadan A  A = A va A   =  xossalar kelib chiqadi.
Tŏplamlar birlashmasi va kesishmasi ta’riflaridan qŏyidagi distributiv bog’lanish qonunlari deb nomlangan xossalarga ega bŏlamiz [1]:
1 (A  B )  S = (A  S )  (B S)
2 (A  B )  S = (A  S )  (B  S)
Biz 2 xossani isbot qilamiz.