1-natija. gruppa bo‘lsa bo‘ladi.
Haqiqatan ham, .
2-natija. ixtiyoriy gruppada tenglamalar yagona yechimlarga ega.
3-natija. gruppa bo‘lsa, 1(e) undagi yagona birlik (neytral) element bo‘ladi.
4-natija. "a,bÎ G uchun (ab-1)=b-1a-1 tenglik o‘ringa ega.
Haqiqatan ham, (ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=(a1)a-1=aa-1=1.
Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning umumiy ta’riflari Aytaylik, - bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. undagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari bo‘lsin.
2.1.1-ta’rif. Agar to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa ni halqa deyiladi,ya’ni:
Agar halqada
7) aksioma o‘ringa ega bo‘lsa kommutativ halqa deyiladi.
Agar E kommutativ halqada
8) bo‘lsa birlik elementga ega bo‘lgan holda jism deyiladi.
Agar kommutativ halqada
8)
9)
aksiomalar o‘ringa ega bo‘lsa, E ni maydon deyiladi.
1-4 aksoimalardan E kommutativ additiv gruppa ekanligi kelib chiqadi, uni E halqaning additiv gruppasi deyiladi.
2.1.2-ta’rif. Agar bo‘lsa, u holda E halqaning a va b elementlarini nolning bo‘luvchilari deyiladi.
2.1.3-ta’rif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqani butunlik sohasi deyiladi.
2.1.1-misol. Z - butun sonlar to‘plami odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kommutativ, birlik elementga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi.
2.1.2-misol. halqa bo‘ladi.
2.1.4-ta’rif. E halqa va uning qism to‘plami bo‘lib, K ham E dagi amallarga nisbatan halqa bo‘lsa K halqa E halqaning qism halqasi bo‘ladi.
2.1.5-ta’rif. P maydon va uning qism to‘plami bo‘lib, P maydonda aniqlangan amallarga nisbatan N maydon bo‘lsa, N maydon E maydonning qism maydoni deyiladi.
2.1.6-ta’rif. Aytaylik P maydon E butunlik sohasi bo‘lsin. Agar
1. E P ning qism halqasi bo‘lsa;
2. shartlar o‘rinli bo‘lsa, u holda P ni E butunlik sohasining nisbatlari maydoni deyiladi.
Masalan. Q- ratsional sonlar maydoni Z butun sonlar halqasining nisbatlari maydoni bo‘ladi.
Agar E halqa bo‘lsa, uchun quyidagi tengliklar o‘ringa ega bo‘ladi:
