Algebraik sistemalar. Algebra tushunchasi. Algebraik tizimlar, algebralar va modellar

MAVZU : Algebraik sistemalar,monoid,yarim guruh,abel guruh,guruh,halqa va maydon tushunchasi.
REJA :


1 Algebraik sistemalar. Algebra tushunchasi.
1.1 Algebraik tizimlar, algebralar va modellar
1.2 Algebraik tizimlarning izomorfizmi
Agar o'tgan asrlarda va 20 -asrning boshlarida algebra juda cheklangan miqdordagi algebraik tuzilmalarni o'rgangan bo'lsa, endi algebraning umumiy ta'rifini berish mumkin - ya'ni u yoki bu to'plamlarning xususiyatlari haqidagi fan operatsiyalar va munosabatlar tizimi aniqlanadi. Algebra haqidagi bu qarashning rivojlanishiga katta hissa qo'shgan A.I. Maltsev. Xususan, u bu bo'lim mavzusi bo'lgan algebraik tizim tushunchasini kiritdi. A.I.ning asarlari tufayli. Maltsev aniqlaganidek, algebra va matematik mantiq bir -biri bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ikkita fan.
Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda algebraik operatsiya berilgan bo‘lsa, u algebra deyiladi. Agar natural sonlar to‘plami N da qo‘shish amali berilgan bo‘lsa, bu to‘plamda berilgan algebra ‹N,+› ko‘rinishda belgilanadi. Demak, algebra berilishi uchun bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va unda algebraik operatsiya berilishi lozim ekan. Agar X to‘plam berilib, unda *,º algebraik operatsiyalar berilgan bo‘lsa, ular vositasida berilgan algebra ‹X,*,º› ko‘rinishda bo‘ladi. ‹X,T,º› algebra ‹X,T,*› algebradan º va * algebraik operatsiyalari bilan farq qiladi. Gruppa, halqa, maydon ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning xossa va xususiyatlarini ko‘rib chiqamiz.
1.1 Algebraik tizimlar, algebralar va modellar
1-ta'rif (nisbat). A to`plamdagi n-ary (n-ary) munosabati-A to`plamning n-kartezian darajasining An to`plami.


2 -ta'rif (algebraik operatsiya). A to'plamda aniqlangan n-ary (n-ary) algebraik operatsiya (yoki oddiygina operatsiya) n-ary funktsiyasi f: An ® A.
N-ary operatsiyasi uchun n soni f (a n-ary munosabati r) operatsiyaning arity deb ataladi (r munosabati) va n (f) (n (r)) bilan belgilanadi. O'zaro munosabatlarning shakli noldan katta. Operatsion aritlari noldan katta yoki unga teng bo'lgan sonlardir. Arity 0 operatsiyalari-bu bitta elementdan (n-uzunlik 0) tashkil topgan va funktsiyaning qiymati bilan aniqlangan funktsiyalar.
Yagona operatsiyalar uchun biz prefiks va postfiks belgilaridan, ikkilik operatsiyalar uchun, qoida tariqasida, infiksdan foydalanamiz.
Operatsiyalar va munosabatlarning xususiyatlari
Agar A to`plam chekli bo`lsa, bu to`plamdagi algebraik amalni jadval ko`rinishida aniqlash mumkin. Agar operatsiya ikkilik bo'lsa, unda bu ta'rif ayniqsa qulaydir.
1 -misol (operatsion jadval).
Keling, to'plamda ishlash jadvalini tuzaylik (+ mod 5)
{0, 1, 2, 3, 4}

(+mod 5)