Amaliy matematika ” yo`nalishi 20. 09A -guruh talabasi Abidova Madinaxon Iqrorxo’ja qizining Matematika informatika o’qitish metodikasi fanidan

1111 x 1111 yoki 111111 x 111111
XAYRATLANARLI KVADRATLAR
Quyidagi kvadratni 3 ming yillar oldin xitoyik olimlar o’ylab topishgan ekan, undagi sonlar yig’indisi eniga ham, bo’yiga ham, diagonaliga ham 15 ga teng bo’ladi

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Mana yana bitta undan ham ajoyib kvadrat, unda 4 ta sonlar yig’indisi har qanaqasiga 66 ga teng bo’ladi, hatto 2 x 2 katakdagi sonlar ham

1	8	29	28
30	27	2	7
4	5	32	25
31	26	3	6

BOSHQA KISHI O’YLAGAN SONNI TOPISH
Bu kishini chalg’ituvchi «fokus» ko’pchilikka tanish, lekin u yosh bolalarga taqdim etilsa, ular hayratlanmay qolmaydi, buning uchun:
Bir son o’ylang, unga keyingi o’rinda keluvchi sonni qo’shing. Natijaga 7 ni qo’shing, 2 ga bo’ling. Endi hosil bo’lgan sondan o’ylagan soningizni ayirib tashlang. Javobi 4 chiqdi, shundaymi?
Bu qanday bajariladi:

• 
  Bitta son o’ylang: masalan, 52
  
• 
  O’ylagan soningizga keyingi o’rinda keluvchi sonni qo’shing: 52 + 53 = 105
  
• 
  Unga 7 ni qo’shing: 105 + 7 = 112
  
• 
  2 ga bo’ling: 112 / 2 = 56
  
• 
  O’ylagan soningizni ayirib tashlang: 56 — 52 = 4 (javob 4)
  

Bu «fokus»ning mohiyatini hali ham tushunmagan bo’lsangiz, bu misolda kishi qanaqa son o’ylamasin, javob siz qo’shing degan songa 1 qo’shilib (bizning namunada bu 7 soni), o’sha sonning ikkiga bo’lingani chiqadi, agar kishi o’ylagan songa 9 ni qo’shing desangiz yakuniy javob 5 chiqadi ((9+ 1) / 2), 3 qo’shing desangiz, javob 2 va shu tariqa davom etadi.

«TENG» VA «KICH1K» MUNOSABATLARI. QO‘SHISH. QO'SHISH QONUNLARI
Ta'rif. Butun nomanfiy a va b sonlarning yig‘indisi deb n(A) = a, n(B) = b bo'lib. kesishmaydigan A va B to‘plamlar birlashmasidagi elementlar soniga aytiladi, ya’ni: a + b = n(A U B), bunda n(A) = a, n(B) = b va A n B = 0 , bunda n(B) va n(A) soni A va B to‘plamning elementlari sonini bildiradi.
1 misol. Berilgan ta'rifdan foydalanib, 5 + 2 = 7 bo'lishini tushuntiring.
Y e c h i s h. 5 biror A to‘plamning elementlari soni, 2 biror li to‘plamriing elementlari soni bo‘lsin. Shartga ko‘ra, ularning kesishmasi bo‘sh to ‘plam bo‘lishi kerak. M asalan, A = {x; y; z', t; p), B = {a;b} to‘plamlar olinadi. Ular birlashtiriladi: A U B = {x; y; z; t, p; a; b}. Sanash yo‘li bilan n(A U B) = 7 ckanligi aniqlanadi. Demak, 5 + 2 = 7. Umuman, a + b yig‘indi n(A) = a, n(B) = b shartni qanoatlantiruvchi kesishmaydigan A va B to‘plamlarning tanlanishiga bog'liq emas. Bundan tashqari, butun nomanfiy sonlaryig‘indisi har doim mavjud va yagonadir. Yig‘indining mavjudligi va yagonaligi ikki to‘plam birlashmasining mavjudligi va yagonaligidan kelib chiqadi. Yig‘indini topishda qo‘llaniladigan amal qo‘shish amali, qo‘shilayotgan sonlar esa qo‘shiluvchilar deb ataladi. Ikkiga qo‘shiluvchining yig‘indisi va n ta qo‘shiluvchining yig'indisi ham aniqlangan bo‘lsin. U holda n + 1 ta qo‘shiluvchidan iborat a, + a2 + ...+ an + an+i yig‘indi (at + a2 + ... + an) + an+l ga teng.
2- misol. 2 + 7 + 15 + 19 yig‘indini toping. Yechish. 2 + 7 + 15 + 19 yig‘indini topish uchun yuqoridagi ta'rifga ko‘ra, quyidagi almashtirishlami bajarish kerak: 2 + 7 + 15 + 19 = (2 + 7 + 15) + 19 = ((2 + 7) + 15) + + 19 = (9 + 15) + 19 = 24 + 19 = 43. 1- mashq. Ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun a + b = b + a tenglikning bajarilishini isbotlang. Isbot. a deb, A to‘plamdagi elementlar sonini, b deb, B to'plamdagi elementlar sonini belgilaylik. U holda butun nomanfiy sonlar yig‘indisining ta’tifiga ko‘ra, a + b soni A va B to‘plamlar birlashmasidagi elementlar soni bo‘ladi, ya’ni a + b = n(A UB). To‘plamlar birlashmasining o‘rin almashtirish xossasiga ko‘ra, A UB to‘plam B UA to‘plamga teng va n(A UB) = n(B L)A). Yig‘indining ta’rifiga ko‘ra, n(Bl)A) = b + a, shuning uchun ixtiyoriy butun nomanfiy av a b sonlar uchun a + b = b + a. 2- mashq. Ixtiyoriy nomanfiy a, b va c sonlar uchun (a + b) + c = a + (b + c) tenglikning bajarilishini isbotlang. I s bo t. a = n(A), b = n(B), c= n(Q bo‘lsin, bunda A U B = = B U A. U holda ikki sori yig‘indisining ta'rifiga ko‘ra, (a + b) + c = n(A U B) + n(C) = n((A UB) UC) deb yozilishi mumkin. To'plamlarning birlashmasi guruhlash qonuniga bo'ysungani uchun n((A UB)UQ = n(A D(5n Q ) bo‘ladi. Bundan ikki son yig‘indisining ta'rifiga ko‘ra, n(A n (B n C)) = n(A) + + n(B U Q = a + (b + c) hosil boMadi. Demak, ixtiyoriy butun nomanfiy a,bvac sonlar uchun (a + b) + c = a + (b + c) boMadi. SONNI DARAJA KO‘RINISHIDA YOZISH 3 • 3 • 3 • 3 ko‘paytmani 34 deb yozish mumkin. Bu uchning to'rtinchi darajasi deb o'qiladi, bunda 3 soni asos, 4 esa daraja ko‘rsatkichi deb qabul qilingan. Umuman, 3 • 3 - 3 • 3 = 34 = 81. 34 = 3 * 3 -3 -3 = 81. 4 ____ 3 soni 4 marta o‘z-o‘ziga ko'paytiriladi. 1- misol. Quyidagi tengliklar to‘g‘rimi? 23 = 2 -2 -2 = 8; 42 = 4 - 4 = 16; 14 = 1 -1 -1 -1 = 1; 252 = 25 • 25 = 625; 363 = 36 • 36 • 36 = 46656; 32 = 3 • 3 = 9. a1 degan so‘z, a ni a ga ko'paytirish, a3 esa a ni a ga ketmaket uch marta ko‘paytirish demakdir. 1- misoldan 23 = 8 va 32 = 9. Bundan 23 ^ 32 ekanligi kelib chiqadi. 2 - misol. (22)3 = 2(2'3) tenglikning to‘g‘riligini tekshiring. Y e c h is h . (22)3= 43= 4• 4 -4 = 64va2(2'3> = 26 = 2 • 2• 2 x x 2 • 2 • 2 = 64 . Bundan (22)3 = 2(2'3) kelib chiqadi. 3- misol. x = 2 da x3 ning qiymatini toping. Y e c h is h . x ning o‘rniga 2 ni qo‘yib, x3 = 23 = 8 topiladi. Har qanday a soni uchun al = a. Masalan, 9l = 9 yoki 27' = 27. 68 www.ziyouz.com kutubxonasi Nolning har qanday darajasi yana nol bo‘ladi, masalan: Q2 = 0• 0 = 0 yoki 05 = 0- 0- 0- 0- 0 = 0. Har qanday sonning nolinchi darajasi 1 ga teng. 2° = 1, 5° = 1, 10°= 1. 3456
BO'LISH 1- misol. 8 ta apelsinni har biriga 2 tadan qilib likopchalarga qo'yib chiqishdi. Apelsinni 2 tadan qilib necha marta qo‘yishdi? Nechta likopcha kerak bo‘ladi? Y e c h is h . 8 ta elementga ega to‘plam berilgan bo'lsin. Bu to‘plamning har birida 2 tadan element bo'lgan qism to'plamlarga, ya’ni juft-jufti bilan kesishmaydigan teng quwatli 4 ta to‘plamlarga ajratish mumkin. Shunday qilib, javobda hosil qilingan 4 soni asosan 8 ta elementdan iborat to‘plam bo‘lingan ikki elementli qism to'plamlar sonidir. 2 - misol. 12 ta qalamni 3 o'quvchiga baravar tarqatishdi. Har bir o‘quvchi nechtadan qalam oladi? 70 www.ziyouz.com kutubxonasi Y e c h is h . Misol bo‘lish bilan yechiladi: 12 : 3 = 4 (qalam). 4 soni 12 ta elementdan iborat to‘plam bo‘lingan teng quwatli kesishmaydigan har bir uchta qism to‘plamdagi elementlar soni sifatida qatnashmoqda. Bo‘linadigan raqamni bo'linuvchi, bo'ladigan raqamni bo ‘luvchi deyiladi. Agar bo‘linuvchi bo‘luvchiga aniq boiinmasa, boiishdan qolgan qismi qoldiq deyiladi. 12:3 = 4 v a 12:4 = 3 holda ham boiinuvchi 12. Lekin 12:3 = 4 da boiinm a 4, boiuvchi esa 3 va 1 2 :4 = 3 da boiinm a 3, boiuvchi esa 4 sonidir. Boiishda qoldiq qolmasa (qoldiq nol bo‘lsa), boiuvchi va boiinm a koeffitsiyentlar deyish mumkin. Ta'rif. a = n(A) va A to‘plam juft-jufti bilan kesishmaydigan teng quwatli qism to‘plamlarga ajratilgan boisin. Agar b soni A to‘plamni boiishdagi qism to‘plamlar soni boisa, u holda har bir qism to‘plamdagi elementlar soniga a va b sonlarning boiinmasi deb aytiladi. Boiish ta’rifiga ko‘ra, boiishga oid masalalar ikki turga ajraladi: mazmuniga ko‘ra, boiish va teng qismlarga ajratish. 7- turga oid masala. 48 ta qalam 6 ta qutichaga barobardan solingan boisa, har bir qutichaga nechtadan qalam solingan? 2- turga oid masala. 48 ta qalam 6 tadan qilib qutichalarga solingan boisa, nechta quticha kerak boiadi? Boiish takror ayirish sifatida ham qaralishi mumkin. 1 4 - 7 degani, 14 dan bir marta 7 ni ayirish (7 - 7 = 0) va ikkinchi marta 7 ni ayirish demakdir. 14 : 7 = 2. (Tekshirish: 2 • 7 = 14). Xulosa qilib aytganda, butun nomanfiy a soni bilan b natural sonning bo‘linmasi deb, b son bilan ko'paytmasi a ga teng bo‘ladigan c= a :b soniga aytiladi. Teskari bog'lanishning mavjudligini ham ko'rsatish mumkin, ya’ni bo'linmaning uchinchi ta’rifidan birinchi ta’rifl kelib chiqishini ko'rsatish mumkin: a :b = c, bundan a = c'b. Demak, uchunchi holda bo‘linma ko‘paytma orqali ta’riflandi. Shuning uchun bo‘lish ko'paytirishga teskari amal deb aytiladi. a va b natural sonlarning bo‘linmasi har doim ham mavjud bo‘ladimi? a va b natural sonlarning bo'linmasi mavjud bo'lsin, ya’ni a = C'b. Ixtiyoriy c natural son uchun 1 > c da'vo o‘rinli. Bu 71 www.ziyouz.com kutubxonasi tengsizlikning ikkala qismi b natural songa ko'paytiramiz, b > c • b ga ega bo'lamiz. c- b = a bo'lgani uchun b > a bo‘ladi. Agar a = 0 va b = 0 bo‘lsa, u holda bunday a va b sonlaming bo‘linmasi mavjud, degan jumladan c ning ixtiyoriy qiymatida o‘rinli boiadigan 0 = c • 0 tenglik kelib chiqadi, ya'ni a = 0 va b = 0 sonlarning boiinmasi har qanday son boiishi mumkin. Shuning uchun matematikada nolni nolga boiish mumkin emas deb hisoblanadi. 3- misol. 644 sonini 92 ga boiing . Y e c h is h . Aslida 92-1 = 92, 92-2 = 184, 92-3 = 276, 92 • 4 = 368, 92 • 5 = 460, 92*6 = 552, 92*7 = 644 tekshirishlar ko‘z oldimizdan o'tadi. Taxminan javobni tezroq topish imkoni bor, ya’ni 644 soni taxminan 630, 92 esa taxminan 90; 630:90 = 7 boigani uchun tekshirishni birdaniga 7 sonidan boshlash mumkin edi. Bu usul har doim ham qoi kelavermaydi. Chunki 644: 92 ni 600 :100 = 6 deb yozish mumkin edi. §. QOLDIQLI BO‘LISH 1- misol. 37 sonini 8 ga bo‘ling. Yechish. 37 soni 8 ga qoldiqsiz bo‘linmaydi. Lekin 37 = 4 • 8 + 5 boiadigan 4 va 5 sonlari mavjud. 37 sonini 8 ga boiish qoldiqli boiish bilan bajariladi, bunda toiiqm as 4 boiinma va 5 qoldiq topildi deb aytiladi. Ta'rif. Butun nomanfiy a sonni b natural songa qoldiqli boiish deb, a = A? + r v a 0 s r s i boiadigan butun nomanfiy q\a r sonlarni topishga aytiladi. 78 www.ziyouz.com kutubxonasi Qoldiqning ta'rifidan kelib chiqadigan o‘ziga xos xususiyatiga e’tibor beraylik. Qoldiq b bo'luvchidan kichik sondir. Shuning uchun butun nomanfiy sonlarni b ga bo‘lganda, hammasi bo‘lib b ta turlicha qoldiq hosil bo‘lishi mumkin. Agar a < b bo‘lsa, u holda a ni b ga bo‘lganda, to‘liqmas bo‘linma q = 0, qoldiq r=a bo‘ladi, ya’ni a = 0 • b + a. 2- misol. a ni b ga qoldiqli bo‘lishni har doim ham bajarish mumkinmi? Ixtiyoriy butun nomanfiy a soni va b natural son uchun a = b-q + r, bunda 0 < r < b boMadigan butun nomanfiy q va r sonlar mavjud. Bu xossaga ega bo'lgan nomanfiy sonlar jufti (q; r) yagonadir. a = n(A) va A to‘plam Av Av ..., >4 X to‘plamlaiga ajratilgan boMib, bunda Ax, A^, ..., Aq to‘plamlar teng quwatli va b tadan elementni o‘z ichiga olgan, X to‘plam esa Av Av ..., Aq to‘plamlaming har biridagi elementlaidan kam elementlaiga ega bo‘lsin, ya’ni n(X) = r. U holda a = bq+ r boMadi, bunda 0 < r < b. Shunday qilib, to'liqmas bo'linma q, A to‘plamni ajratishdagi (har birida b tadan element boMgan) teng quwatli qism to‘plamlar soni, qoldiq r - X to'plamdagi elementlar soni boMadi. Boshlang'ich maktabda qoldiqli boMish bilan tanishish 9 ta boladan 4 ta juft tuzish va 1 ta bola juftsiz qolish vaziyatini qarab chiqishda yuz beradi. Ya’ni, toMiqmas boMinma qoldiq bilan tanishish mohiyatiga ko‘ra nazariy to'plam asosida yuz beradi. Teorema. Agar a< c boMadi. Agar a < b boMsa, u holda b < a boMishi noto‘g‘ri. Hech qanday butun nomanfiy a son uchun a < a tengsizlikning bajarilmasligiga ishonish qiyin emas. Agar a < a boMganda edi, a = a + c boMadigan natural c soni topilar edi, lekin yigMndining yagonaligiga ko‘ra, buning boMishi mumkin emas. Endi ikkala a < b \a b < a tengsizliklar bajariladi, deb faraz qilaylik. U holda «kichik» munosabatining tranzitivlik xossasiga ko‘ra a < a tengsizlik hosil boMadi, buni esa boMish mumkin emas. 79 www.ziyouz.com kutubxonasi Butun nomanfiy sonlar uchun «kichik» munosabati tranzitiv va antisimmetrik bo‘lgani uchun u tartib munosabati boladi, butun nomanfiy sonlar to‘plami esa tartiblangan to'plam bo'ladi. «Kichik» munosabatning ko‘rib o'tilgan xossalaridan ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun a < b, a = b, b > a munosabatlardan faqat bittasi bajarilishi kelib chiqadi. Bu to'plamning elementlarini ixtiyoriy sondan awal kichigi keladigan qilib joylashtirib, butun nomanfiy sonlar qatorini hosil qilamiz: 0, 1, 2, 3, 4, ... . Bu qator cheksizdir. A ta elementga ega bo'lgan biror A to'plamni olamiz. Agar unga A to'plamning hamma elementlaridan farq qiladigan yana bitta element qo‘shib qo'yilsa, u holda elementi a+ 1 ta bo‘lgan yangi B to‘plam hosil bo'ladi. a + 1 sonni bir butun nomanfiy son uchun undan bevosita keyin keluvchi yagona natural sonni ko‘rsatish mumkin. Aksincha, har bir butun nomanfiy son bittadan ortiq bo‘lmagan butun nomanfiy sondan bevosita keyin kelmaydi. 0 sonidan boshlab tartib bilan bevosita bir-biridan keyin keluvchi natural sonlarga o‘tib, butun nomanfiy sonlar to‘plami hosil bo'ladi. Agar 4 + 2 = 6 ekani ma'lum bo‘lsa, u holda 4 + 3 yig'indini topish uchun 6 ga 1 ni qo'shish yetarli: 4 + 3 = 4 +(2+ 1)= = (4 + 2) + 1 = 6 + 1 = 7. «Bevosita keyin kelish» munosabatidan ko'paytirish uchun ham shunga o‘xshash foydalaniladi: agar 7 • 5 = 35 ekani ma'lum bo‘lsa, 7 • 6 ko‘paytmani topish oson. Buning uchun 35 ga 7 ni qo‘shish yetarli, chunki 7 - 6 = 7(5 + l) = 7*5 + 7 = 35 + + 7 = 42 bo‘ladi. Butun nomanfiy sonlar to‘plamining yana bitta xossasini aytib o‘tamiz. a — biror butun nomanfiy son va a + 1 son a dan bevosita keyin keluvchi son bo'lsin. U holda hech qanday butun nomanfiy a son uchun a < x < a + 1 bo'ladigan x natural son ko‘nsatish mumkin emas. Bu xossa natural sonlar to'plamining diskretlik xossasi, a va a + 1 sonlarning o‘zi esa qo‘shni sonlar deb ataladi. Birinchi o'nlikdagi sonlami o'rganishning o‘zidayoq natural qatorning har bir sonini qanday hosil qilish mumkinligi aniqlanadi. Bunda «keyin keladi», «oldin keladi» va 1 ni qo‘shish hamda 1 ni ayirish tushunchalaridan foydalaniladi, ya'ni o‘quvchilar natural qator sonlarining xossalarini bilishlari uchun sharoit yaratiladi: ixtiyoriy sonni sanoqda undan oldin keluvchi songa 1 ni qo'shish bilan hosil qilish mumkin, ixtiyoriy son undan oldin keluvchi sondan 1 ta ko‘p va hokazo. 80 www.ziyouz.com kutubxonasi Kishining amaliy faoliyatida nafaqat buyumlar sanog'ini bo'lib borishga, balki turli kattaliklar: uzunlik, massa, vaqt va boshqalarni o'lchashga to‘g‘ri keladi. Shuning uchun natural sonlarning vujudga kelishida sanoqqa bo‘lgan ehtiyojgina emas, kattaliklarni o‘lchash masalasi ham sabab bo'ladi. Agar natural son kattaliklarni o‘lchash natijasida paydo bo'lgan bo‘lsa, uning qanday ma’noga ega ekanligi aniqlaniladi. Natural songa bunday yondashish bilan bog‘liq bo‘lgan hamma nazariy dalillarni bitta kattalik — kesma uzunligi misolida qaraymiz. 21 sonini 6 ga bo‘lamiz. Rasm bo‘yicha 21 ichida 6 birlik uch marta joylashadi va yana 3 birlik qoladi:
Bo'linuvchini a, boiuvchini 6, bo‘linmani c, qoldiqni rbilan belgilab, a = b • c + rtenglikni yozish mumkin, bunda har doim r < b boiadi. 1- misol. Qandaydir sonni 5 ga boiganda boiinmada 4 va qoldiq 3 hosil boidi. Bbiinuvchini toping. Yechish. b=5, c=4, r= 3, dem ak, a = b • c + r = = 5-4 + 3 = 20 + 3 = 23.