4. Aniq integralni hisoblash. N’yuton-Leybnis formulasi. Aniq integralning ta’rifiga asosan, ya’ni cheksiz ko‘p sondagi cheksiz kichiklar yig‘indisining limitini hisoblash ancha qiyinchilikka olib keladi. Shuning uchun aniq integralni hisoblash uchun, boshqa aniqmas integral bilan aniq integral orasidagi bog‘lanishga asoslangan usuldan foydalaniladi.
, kesmada uzluksiz funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridan biri bo‘lsa
(2)
formula o‘rinli bo‘lib, bunga N’yuton-Leybnis formulasi deyiladi. Bundan foydalanib aniq integralning kattaligi hisoblanadi.
Shunday qo‘yilib, aniq integralni hisoblash uchun ham, aniqmas integraldagidek, boshlang‘ich funksiyani topish kerak ekan. Bunday masala bilan aniqmas integralni hisoblashda to‘laroq shug‘ullandik. Demak, aniqmas integralni hisoblashdagi hamma formula va usullar o‘z kuchida qolib, undan aniq integralni hisoblashda ham foydalanamiz.
1-misol. integralni hisoblang.
Yechish. .
Eslatma: funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini oldik, buning o‘rniga ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasini olganda ham natija bir xil bo‘ladi. Haqiqatan, ham
bo‘ladi. Shuning uchun bundan keyin bo‘lgan boshlang‘ich funksiyani olamiz.
2-misol. integralni hisoblang:
Yechish; almashtirish olamiz, bo‘lib,
bo‘lganda, bo‘ladi.
Shunday qilib,
Demak, aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirilganda o‘zgaruvchilar bo‘yicha uning integrallash chegaralarini ham almashtirib olinsa, aniqmas integraldagidek oldingi o‘zgaruvchiga qaytish kerak emas.
3-misol. integralni hisoblang.
Yechish: Bo‘laklab integrallash
formulasidan foydalanamiz:
Mustahkamlash uchun savollar 1. Qanday masalalar aniq intgralga keltiriladi?
2. Integral yig‘indi qanday tuziladi?
3. Aniq integral deb nimaga aytiladi?
4. Aniq integral qanday belgilanadi?
5. Funksiya integrallanuvchi bo‘lishi uchun qanday xossaga ega bo‘lishi kerak?
6. Aniq integralning asosiy xossalari nimalardan iborat?
7. Nyuton-Leybnis formulasini yozing?
8. Aniq integralni bo‘laklab integrallash nimadan iborat?
