Asosiy masalaning qo’yilishi

Gauss postuloti: O’lchash haqiqiy kattaligining eng ehtimolli qiymati o’lchash natijalarining o’rta arifetigiga teng.
Teorema:
Agar tasodifiy hatoliklar Gauss postulotini qanoatlantirsalar, u holda tasodifiy hatoliklarining taqsimot qonuni normal qonun bo’ladi.
Shunday qilib agar Gauss postulotini qabul qilinsa tasodifiy hatoliklar normal qonun bilan taqsimlangan bo’ladi.
Huddi shunday buning teskarisi ham o’rinli:
Agar tasodifiy hatoliklar normal taqsimot bilan taqsimlangan bo’lsalar, u holda o’lchash haqiqiy kattaligining eng ehtimolli qiymati o’lchash natijalarining o’rta arifetigiga teng.
Shuni alohida qayd qilish joizki bu teoremadan tasodifiy hatoliklarning har doim ham normal taqsimot bilan taqsimlanganligi kelib chiqmaydi, ba’zi bir tip o’lchashlarda (ayniqsa kam sondagi o’lchashlarda) Gauss postuloti bajarilmaydi va bu hollarda boshqa taqsimot qonunlarini qarashga to’g’ri keladi.
Lyapunovning markaziy limit teoremasi shunday umumiy yetarli shartlarni berganki, bu shartlar bajarilganda bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar yig’indisi asimptotik normal qonunga bo’ysinadi. Bu shartlar asosan shunga olib keladiki, markazlashtirilgan qo’shiluvchilar orasida qolgan markazlashtirilgan qo’shiluvchilardan tubdan farq qiluvchilari yo’q.
Albatta МХ_к=а_к matematik kutilmaning mavjudligi talab qilinadi. Bundan tashqari markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning kvadratining matematik kutilmasi mavjudligi ham talab qilinadi.

Ko’rsatilgan shartlarda Х₁+Х₂ +…+Х_n yig’indi а = а₁+а₂+…+а_n va

parametrli asimptotik normal qonunga ega bo’ladi.

Agar o’lchash natijalari sistematik xatoliklardan holi bo’lsa u holda xatolikning ta’rifidan (Z=X-a) o’lchash natijalari X=a+Z, a va σ parametrli normal qonunga bo’ysinishligi kelib chiqadi. Demak o’lchash natijalarining taqsimot markazi o’lchanayotgan kattalikning haqiqiy qiymati bilan ustma-ust tushadi, ya’ni МХ=а .(Bu esa o’lchash natijasida sistematik hatoliklarning yo’qligini bildiradi)