Asosiy qism. 1-§ Ko‘phadlar haqida umumiy tushuncha

3-ta’rif. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo‘lgan ko‘phad nol ko‘phad deyiladi. Mazkur mazkur ta’rifga asosan kamida bitta koeffitsiyenti noldan farqli ko‘phad nolmas ko‘phad deb ataladi.
Faraz qilaylik, darajali ko‘phad bilan birgalikda bo‘lgan
(3)
Ko‘phad ham berilgan bo‘lsin. Bunday holda ikkita va ko‘phadning yig’indisi deb,

Ko‘phadni tushunamiz.Bu yerda bo‘lib, bo‘lganda deb, da esa deb olinadi. Yana shuni takidlaymizki, da yig’indi ko‘phadning darajasi qo’shiluvchi ko‘phadlar darajasidan katta emas. Haqiqatan, agar bo‘lsa, yig’indining darajasi qo’shiluvchi ko‘phadlar darajasidan hatto kichik ham bo‘lishi mumkin.
Ko‘phadlar top’lamida ayirish amali o’rinli. Bu to’plamda nol element sifatida nol ko‘phad qaraladi. Ko‘phad uchun qarama-qarshi element dan iborat.
Endi tenglik bajariladi deb qarab, ikkita va ko‘phad ko‘paytmasi deganda koeffitsientlari

tenglik bilan aniqlanuvchi ko‘phadni tushunamiz. Bu yerda

Ko‘phadlarning koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lgani uchun
va bo‘lganda bo‘lib, va darajali
Ko‘phadlar ko‘paytmasining darajasi shu ko‘phadlar darajalarining yig’indisiga teng bo‘ladi.
Biz bundan buyon darajali bir noma’lumli ko‘phadlar to’plamini deb belgilaymiz.
Teorema. Bir noma’lumli ko‘phadlar to’plami butunlik sohasini tashkil etadi.
Isboti. Ikkita ko‘phad yig’indisi va ko‘paytmasi yana ko‘phaddan iborat ekanligini biz yuqrida ko‘rib o’tdik. Endi ko‘phadlar to’plami uchun halqaning boshqa shartlari bajarilishini ko‘rsatamiz, chunki butunlik sohasini qism halqadan iboratligi bizga a’lum.

1. 
   Haqiqatan, agar va larni yuqoridagicha aniqlasak, quyidagilar
   

bajariladi: bo‘lgani uchun
ya’ni ko‘phadlarni qo’shish kommutativdir.

2. 
   ( ko‘paytirish amali kommutativ ). ko‘phadlarning
   

koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lganiga ko‘ra

bo‘lgani tufayli bajariladi. Yuqorida ko‘rib o’tkanimizdek, va bo‘lganda . Demak,

Ko‘phad ham nolga teng emas. Demak, to’plam nolning bo‘luvchilariga ega emas.

3. 
   Ko‘phadlar ko‘paytmasi assotsiativdir, ya’ni
   

(4)
Bu tenglikni isbotlash uchun bo‘lganda

deb olamiz. , va lar mos ravishda , va darajali bo‘lganida ko‘phaddagi ning koeffitsienti

Yig’indi orqali aniqlansa, ko‘phaddagi ning koeffitsienti esa yig’indi orqali aniqlanadi. Ularning tengligiga asosan (4) tenglik ham chindir.

4. 
   (5)
   

Ko‘phadlarni ko‘paytirish qo’shish amaliga nisbatan distributivdir.Bu qonunning chinligi

tenglik yordamida isbotlanadi. Chunki bu tenglikning o’ng tomoni yig’indidagi larning koeffitsientlaridan, chap tomoni esa dagi ning koeffitsientlaridan tuzilgandir.
Yuqoridagi xossalardan quyidagilar kelib chiqadi.

1. 
   da bir noma’lumli bir necha ko‘phadlar yig’indisi tushunchasini
   

kiritish mumkin. Buning uchun induktiv metoddan foydalanamiz. Ya’ni,
halqada uchta ko‘phadlar yig’indisi deganda biz ni tushunamiz.
To’rtta Ko‘phad yig’indisi ham aynan shu usulda beriladi. Umuman, ta ko‘phad yig’indisi tushunchasi ham qo’shishning assotsiativligidan foydalanib kirita olamiz, ya’ni dastavval ta ko‘phad yig’indisi ni aniqlab, uning yordamida ta ko‘phadning yig’indisi kabi aniqlanadi.
Yuqorida ko‘rsatganimizdek, har bir hadni ko‘phad deb qarash mumkin. ko‘phadalrni qo’shish assotsiativ bo‘lganligi tufayli ni noma’lumning darajalarini pasayishi tartibida ham yozsa bo‘laveradi. Bunday holda ko‘phad almashtirish yordamida

ko‘rinishni oladi.
dan olingan va la hamda uchun bo‘lgani va tenglikka binoan simvollarni noma’lumning darajalari deb qarashimiz mumkin. Haqiqatan, , va hokazo. Bulardan tashqari, butunlik sohasidan olingan istalgan elementni ( bo‘lgani tufayli ) nolinchi darajali ko‘phad, ni esa ixtiyoriy birhad deb qarab, ko‘phadlarni ko‘paytirishga binoan birhadni kabi yozish mumkin. ko‘paytirish da kommutativ bo‘lganligi tufayli shart ham bajariladi.
Demak, koeffitsientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lgan noma’lumli ko‘phadlar to’plami kommutativ halqa ekan. Bundan tashqari, agar (2) va (3) da va desak, bulardan bo‘lib, ularning ko‘paytmasi bo‘lmish bo‘ladi.
Chunki . Demak, halqa butunlik sohasidan iborat ekan.