Assimmetrik shifrlash algoritmlarining matematik asosi

Chekli maydonlarda diskret logarifmlash. Kriptografiyada birtomonli (teskarisi yo‘q) funksiya sifatida biror modul n bo‘yicha darajaga ko‘tarish amalini bajarishni hisoblashdan foydalaniladi:

Bu funksiyaning y qiymatini x argumentning berilgan qiymati bo‘yicha hisoblash qiyinchilik tug‘dirmaydi. Ammo, y ning qiymatini bilgan holda, x ning qiymatini topish murakkab masala hisoblanadi. Umuman olganda,

munosabatni qanoatlantiruvchi x noma’lumning butun qiymatlari har qanday n lar uchun ham mavjud bo‘lavermaydi. a, b, n -parametrlarning yetarli katta qiymatlarida bu yuqorida keltirilgan masalaning yechimi yana ham murakkablashadi.
Kriptobardoshliligi diskret logarifimlash masalasining murakkabligiga asoslangan ko‘plab ochiq kalitli kriptoalgoritmlar mavjud.
EECh nazariyasini yaratishda so‘nggi qadimiy grek matematigi Diofantdan boshlab o‘tmishning ko‘pgina eng yirik olimlari qatnashgan. EECh gruppasi strukturasini mashhur fransuz matematigi Anri Puankare taklif etgan. Yillar davomida EECh hech qanday amaliy ahamiyatga ega bo‘lmagan sof matematika sohasi bo‘lib kelgan. O‘tgan asrning 80-yillarida EECh katta sonlarni faktorlash algoritmlarini tuzish sohasida qo‘llanila boshladi va bu qo‘llanishlar orqali kriptografiya sohasiga kirib keldi (nosimmetrik tizimlar, psevdotasodifiy sonlarni generasiyalash). Elliptik kriptografiyada haqiqiy burilish 1985 yilda N. Koblis va V. Miller ilmiy ishlari chop etilgandan so‘ng yuz berdi. Shu damdan boshlab mashhur jahon kritologlari elliptik kriptografiya bilan shug‘ullana boshladilar. Faktorlash va EECh gruppasida diskret logarifmlash murakkabliklarini taqqoslama tahlili EEChlarning bahslashuvdan holi afzalliklarini namoyon etdi.
XXI asrning boshidan boshlab nosimmetrik kriptografiyaning an’anaga aylanib qolgan kriptotizimlardan bardoshliligi EECh gruppasida diskret logarifmlash muammosining murakkabligiga asoslangan tizimlarga o‘tish boshlangani ko‘zga tashlandi. Elliptik kriptografiyaga alohida qiziqish quyidagi sabablar bilan bog‘liq:

• 
  Birinchidan, diskret logarifmlash va faktorlash muammolarini yechishga qaratilgan sonli maydon va halqalarda n moduli bo‘yicha sonlar silliqligi xossasidan foydalanadigan umumlashgan g‘alvir usuliga asoslangan tezkor algoritmlarning yuzaga kelishi. EECh gruppasida esa silliqlik tushunchasi nuqtalarga tegishli bo‘lib, tezkor kriptotahlillash algoritmlarini tuzish imkoniyatini bermaydi;
  
• 
  Ikkinchidan, EECh gruppasida nisbatan qisqa kalit uzunligi asosida kriptotizimlar ishlab chiqarish imkoniyati mavjudligi. Bular simsiz kommunikasiyalarda va resurs cheklangan hollarda (smart-kartalar, mobil qurilmalar) asosiy hisoblanadi. Masalan, EECh gruppasida tuzilgan kalitning binar uzunligi 150 dan 350 gacha bo‘lgan qurilmalarda an’anaviy qurilmalardagi kalitning binar uzunligi 600 dan 1400 gacha bo‘lgandagidek kriptografik bardoshlilik darajasiga erishiladi.
  

Yuqorida keltirilgan sabablar AQSh va Rossiya Federatsiyasida amaldagi standartlarni elliptik kriptografiyaga oid standartlar bilan almashtirishga olib keldi. Hozirgi kunda EEChlarga asoslangan algoritmlar ko‘plab xalqaro, milliy va sohaga oid standartlar qatoridan o‘rin olgan. Elliptik kriptografiyada foydalanish uchun asosan GF(2m ) maydonida aniqlangan singulyar yoki GF(p) maydonida aniqlangan nosupersingulyar EEChlardan foydalanish tavsiya etiladi. Barcha hollarda EECh gruppasida katta tartibga ega bo‘lgan elementlar mavjudligiga ishonch hosil qilish muhimdir. Kriptografiyada chekli algebraik strukturalarda, masalan, chekli maydonlarda berilgan EEChdan keng foydalaniladi. Tub maydon GF(p) da berilgan EECh tenglamasi

taqqoslamaning P = (x, y) nuqtalari (yechimlari) to‘plamini tashkil etadi. Bu yerda a va b kattaliklari 4a³ +27b ≠ 0 (mod p) shartini qanoatlantiruvchi doimiylar, p>3. To‘plam gruppani tashkil etishi uchun unga cheksiz uzoqlashgan Y_e e=(x,  ) nuqta birlashtiriladi, natijada gruppa tashuvchisi E={14 yechimlari} U{0} ko‘rinishni oladi. Mazkur gruppaning kriptografiya uchun asosiy amali nuqtalarni takroran m marta qo‘shish amali [m]P bo‘lib, uni [m] ga ko‘paytirish deb ataladi va u rekursiv suratda amalga oshiriladi. Oshkora kriptografiyada yaratilgan ko‘pchilik algoritmlarning EEChli analoglari ishlab chiqilgan. Elliptik egri chiziqli kriptotizimlar kriptobardoshliligi EEChda diskret logarifmlash muammosining murakkabligi bilan belgilanadi.
Ochiq kalitli kriptoalgoritmlar asosini tashkil etuvchi yetarli katta sonlarni tub ko‘paytuvchilarga yoyish, xarakteristikasi yetarli katta bo‘lgan chekli maydonlarda diskret logarifmlarni hisoblash, EEChlarda ratsional koordinatali nuqtalarni topish, ularni qo‘shish hamda tartibini aniqlash masalalarini yechish murakkabliklari bilan bog‘liq holda parametrli gruppa amallaridan foydalanish yangi nosimmetrik algoritmlar yaratish usullariga olib keladi.
Chekli maydonning a va b - elementlari uchun kiritilgan amalni turlicha aniqlash mumkin. Kiritilgan amalni shifrlash algoritmlarida ochiq kalit va ochiq ma’lumot yoki oraliq natija bloki ustida bajarilishini hisobga olib hamda deshifrlash algoritmlarida shifrma’lumot va maxfiy kalit bloki qiymatlari ustida bajariladigan akslantirishlarga tatbiq qilinishini nazarda tutib, kiritilgan amal bo‘yicha teskari element mavjud bo‘ladigan qilib aniqlanadi. Xeshlash funksiyasi, oqimli shifrlash, kalitlar generasiyasi algoritmlarida va Feystel tarmog‘i akslantirishlarida kiritilgan amal bo‘yicha teskari elementni topishning ratsional usuli yo‘q bo‘ladigan yoki umuman mavjud bo‘lmaydigan qilib aniqlash maqsadga muvofiqdir.
Ilmiy tadqiq qilinayotgan obyektlar matematik modellarining sifati darajasi (adekvatligi) ular bilan bog‘liq bo‘lgan jarayonlarni qanchalik to‘liq va aniq ifodalashi bilan belgilanadi. Matematik model boshlang‘ich fikr va mulohazalar asosida o‘tkazilgan tajribalar natijalarini solishtirish hamda tadqiq qilinayotgan obyektning xususiyatlarini belgilovchi parametrlarning tabiiy bog‘liqligi, qonuniyatlarini ifodalovchi tenglik, tengsizlik va tegishlilik munosabatlari bilan aniqlanadi. Kriptologiya biror chekli sondagi alfabet belgilarining ketma-ketligi bilan ifodalangan ma’lumotni va uning o‘zgarishlari (akslantirilishlari) bilan bog‘liq bo‘lgan jarayonlarni tadqiq qiladi. Kriptografik akslantirishlar matematikaning: to‘plamlar va funksiyalar nazariyasi, algebra, diskret matematika, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi, haqiqiy va kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, murakkablik nazariyasi, axborotlar nazariyasi kabi bo‘limlariga tegishli bo‘lgan matematik modellardan iborat. Murakkablik nazariyasi kriptografik algoritmlarning hisoblash murakkabliklarini tahlil qilish uslubini beradi. Har xil kriptografik algoritmlarning hisoblash murakkabliklarini solishtirib, ularning ishonchlilik - bardoshlilik darajasi aniqlanadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES)

1. 
   Akbarov D.E.”Axborot xavfsizligini ta’minlashning kriptografik usllari va ularning qo‘llanilishi” –T.:”O‘zbekiston markasi”,2009. – 424 b.
   
2. 
   A. Azamatov “Algoritmlash va dasturlash asoslari” Toshkent. Cho‘lpon-2010.
   
3. 
   Аxmedova O.P. Parametrlar algebrasi asosida nosimmetrik kriptotizimlar yaratish usuli va algoritmlari // Nomzodlik dissertatsiya ishi, Toshkent-2007.
   
4. 
   Z.T.Xudoykulov, Sh.Z.Islomov, U.R.Mardiyev “ Kriptografiya1”, Toshkent 2021.