Astanova charos normurodovnaning

A
7 kg
5 kg
A
C
12 kg
C
6 kg
Endi
masalaning
ikkinchi
qismini
izohlab
yechamiz.
Jami
sabzavotlarda n tushlikda 6
kg sabzavot ishlatildi. Keltirilgan sabzavotlarni ifodalovchi AC kesmani tasvirlab, undan tushlikda ishlatilgan sabzavot massasi c ga teng CD kesma yordamida tasvirlab, AC va CD kesmalar son qiymatlarining ayirmasiga teng AD kesmani tasvirlaymiz. Demak AD kesma son qiymati keltirilgan jami sabzavotlar massasini ifodalovchi AC va tushlikda ishlatilgan sabzavotlar massasini ifodalovchi CD kesmalar son qiymatlari ayirmasiga teng. Shuning uchun AD kesma son qiymati ayirish amali bilan topiladi: 12-6=6 (kg).
4. Pozitsion sanoq sistemalarida sonlar ustida amallar.
4-topshiriq: Hisoblang va natijani o’nli sanoq sistemasida yozing.
3245 • 425 + 2135
Beshlik sanoq sistemasida qo’shish va kopaytirish jadvalini tuzamiz.

*

0

1

2

3

4

96

0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	11	13
3	0	3	11	14	22
4	0	4	13	22	31

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	10
2	2	3	4	10	11
3	3	4	10	11	12
4	4	10	11	12	13

Bu jadvaldan foydalanib hisoblaymiz.
30313s Endi 31031s sonining 10 lik 2135 sanoq sistemadagi yozuvini 31031 j topamiz.
310315=3-54+l-53+0-52+3-5+l=3-6 25+
+125+15+1=1875+125+16=2016 5
5. Sonlarning bo’linishi.
5-topshiriq: Amallarni bajarmasdan quyidagi ifodalarni 6 ga bo’linish yoki bo’linmasligini ko’rsating:
a) 546+174+390
b) 546+174+380
c) 546+176+380
Yechish: Murakkab songa bo’linish belgisidan
foydalanamiz.Bu uchun 6 sonini 2 va 3 tub ko’paytuvchilar
97
ko’paytmasi shaklida yozamiz.Demak, son 6 ga bo’linishi uchun 2 va 3 ga bo’linishi etarli.
a) 546 • 6, chunki 546 • 2 (oxirgi raqami juft son bo’lgani uchun). 546 • 3 (raqamlar yig’indisi 3 ga bo’lingani uchun)
174 • 6 va 390 • 6 (xuddi yuqoridagi shartlarga ko’ra) Demak: (546+174+390) • 6
b) 546 va 174 (a punktga asosan ) 6 ga bo’linadi.
380 soni 6 ga bo’linmaydi, chunki 380 soni 2 ga bo’linsa ham, 3 raqamiga bo’linmaydi. (raqamlar yig’indisi 3 ga bo’linmaydi).
Demak, 546+174+380 yig’indi ham 6 ga bo’linmaydi.
c) Berilgan yig’indida 546 • 6 (a punktga asosan)176va 380 sonlari esa 6 ga bo’linmaydi. Qo’shiluvchilardan bittasi 6 ga bo’linadi, ikkitasi esa bo’linmaydi bu holatda yig’indini topmasdan turib, uning 6ga bo’linish yoki bo’linmasligi to’g’risida hech narsa aytish mumkin emas.
6. Natural sonlar bo’linishini matematik induksiya metodi
yordamida isbotlash.
6-topshiriq: n ning har qanday natural qiymatlarida n5-n ifoda 30 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish:
n5-n=n(n4- 1)=n(n2- 1)(n2+1)=(n- 1)^n (n+1 )(n2+1)
Endi 30 ni tub ko’paytuvchilar ko’paytmasi shaklida yozamiz: 30=2-3-5
Agar n5-n soni 2 ga, 3ga va 5 ga bo’linishini isbotlasak,unda bu son 30 ga bo’linishini isbotlagan bo’lamiz.
(n- 1)-n- (n+1)-(n2+1)
2ga bo’linadi, chunki ikkita ketma-ket kelgan natural
sonlardan albatta bittasi juft demak bu son 2 ga bo’linadi.
3ga bo’linadi, chunki uchta ketma-ket kelgan natural
sonlardan bittasi albatta 3ga bo’linadi.
98
Endi (n-1)-n-(n+1)-(n2+1) ifodaning 5ga bo’linishini isbotlash qoldi. Natural sonlar to’plamini 5 ga qoldiqli bo’lish nuqtai nazaridan 5 ta sinfga ajratamiz:
1) 5q shaklidagi sonlar, ya'ni 5 ga karrali sonlar.
2) 5q+1 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 1 qoldiq
qoladigan sonlar.
3) 5q+2 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 2 qoldiq
qoladigan sonlar.
4) 5q+3 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 3 qoldiq
qoladigan sonlar.
5) 5q+4 shaklidagi sonlar, ya'ni 5ga bo’lganda 4 qoldiq
qoladigan sonlar.
n=5q bo’lganda
(n-1)^(n+1)^(n2+1)=(5q-1)5q(5q+1)^(25q2+1)
Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi. n=5q+1 bo’lganda
(n- 1)-n-(n+1)-(n2+1)=5q(5q+ 1)(5q+2)^(25q2+10q+2)
Bunda ko’paytuvchilardan biri 5q 5 ga bo’linadi.Demak, ko’paytma ham 5ga bo’linadi.
n=5q+2 bo’lganda
(n-1)^n^(n+1)^(n2+1)=(5q+1)^(5q+2)^(5q+3)^(25q2+20q+5)=
=(5q+1)^(5q+2)^(5q+3)^5(5q2+4q+1)
bunda ham ko’paytuvchilardan biri 5 ga bo’linadi, demak, ko’paytma ham 5 ga bo’linadi. n=5q+3 bo’lganda
(n- 1)-n- (n+1)-(n2+1)=(5q+2)-(5q+3) • (5q+4) • (25q2+30q+10)= (5q+2)^(5q+3)^(5q+4)^5(5q2+6q+2)
bunda ham ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga
bo’linadi.
n=5q+4 bo’lganda
(n-1)^n^(n+1)^(n2+1)=(5q+3)^(5q+4)^(5q+5)^(25q2+40q+17)= (5q+3)-(5q+4)-5(q+1)-(25q2+40q+17) bunda ham
ko’paytuvchilaradan biri 5,demak ko’paytma 5 ga bo’linadi.
99
Demak, n5-n 2ga, 3ga va 5ga bo’lingani uchun ifoda 30 ga bo’linadi.
Bu isbotlashni bajarishda to’la induktsiya metodidan foydalanildi.
7. Tub va murakkab sonlar. Ikki yoki bir necha sonlarning
EKUB va EKUK larini topish.
7-topshiriq: 631 soni tub son, 637 soni murakkab son ekanligini isbotlang.
Ushbu topshiriqni bajarishda “Murakkab a sonining eng kichik tub bo’luvchisi Va dan oshmaydi” degan tasdiqdan foydalanamiz. Ushbu tasdiqga asosan, 631 ning tub son ekanligini ko’rsatish uchun ushbu sonni V631 gacha bo’lgan tub sonlarga bo’lib tekshiramiz. V631« 26 gacha barcha tub sonlarni yozib chiqamiz:
2,3,5,7,11,13,17,19,23 (1)
631 soni (1) qatordagi sonlardan birortasiga bo’linadimi yo’qmi, shuni tekshiramiz. 2, 3 va 5 ga bo’linish alomatlariga asosan 631 soni bu sonlarga bo’linmasligini ko’ramiz. 631 ni qolgan tub sonlarga ham bo’linmasligini bo’lish yo’li bilan tekshiramiz.
Shunday qilib, 631 soni (1) qatordagi birorta tub songa bo’linmaydi, demak, 631- tub son.
b) 637 ni murakkab son ekanligini isbotlash uchun yuqoridagi algoritmdan foydalanamiz.
637 soni (1) qatordagi 2,3,5 ga bo’linmaydi (bo’linish belgilarini qo’llab tekshiramiz), ammo 7ga bo’linadi. Shu sababli 637 soni murakkab son bo’ladi.
100
8. Butun sonlar va ular ustida amallar.
Amal komponentlari va natijasi orasidagi bog’lanishga doir topshiriqlarni bajarishda quyidagi qoidalardan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
1) a+x=b yoki x+a=b ^ x=b-a
Noma’lum qo’shiluvchini topish uchun yig’indidan ma’lum qo’shiluvchi ayriladi.
2) x-a=b ^ x=b+a
Noma’lum kamayuvchini topish uchun ayirmaga ayriluvchi qo’shiladi.
3) a-x=b ^ x=a-b
Noma’lum ayriluvchini topish uchun kamayuvchidan ayirma ayriladi.
4) a*x=b yoki x*a=b ^ x=b : a
Noma’um ko’paytuvchini topish uchun ko’paytma ma’lum ko’paytuvchiga bo’linadi.
5) x:a=b ^ x=b*a
Noma’lum bo’linuvchini topish uchun bo’luvchi bo’linmaga kopaytiriladi.
6) a:x=b ^ x=a:b
Noma’lum bo’luvchini topish uchun bo’linuvchi bo’linmaga bo’linadi.
8-topshiriq: Amal komponentlari va natijasi orasidagi bog’lanishlardan foydalanib quyidagi tenglamani yeching. {2400:[(64-5x):6+46]-32}-14=224
1) Ko’paytuvchi ko’paytmani ko’payuvchiga bo’linmasiga teng.
2400:[(64-5x):6+46]-32=224:14 2400:[(64-5x):6+46]-32=16
2) Kamayuvchi ayriluvchi bilan ayirmaning yig’indisiga teng.
2400:[(64-5x):6+46]=16+32
2400:[(64-5x):6+46]=48
3) Bo’luvchi bo’linuvchini bo’linmaga bo’linganiga teng.
101
(64-5x):6+46=2400:48
(64-5x):6+46=50
4) Qo’shiluvchi yig’indidan ikkinchi qo’shiluvchini ayrilganiga teng.
(64-5x):6=50-46
(64-5x):6=4
5) Bo’linuvchi bo’luvchi bilan bo’linmaning ko’paytmasiga teng.
64-5x=46
64-5x=24
6) Ayriluvchi kamayuvchidan ayirmaning ayrilganiga teng.
5x=64-24
5x=40
7) Ko’paytuvchi ko’paytmani ko’payuvchiga bo’linganiga teng.
x=40:5
x=8
9. Ratsional sonlar. Haqiqiy va kompleks sonlar.
9-topshiriq:
a) Musbat ratsional sonlarni qo’shish assotsiativ ekanliini isbotlang.
Yechish: Ixtiyoriy musbat ratsional sonlar a,b,c uchun (a+b)+c=a+(b+c) ekanligini isbotlash uchun a =—., b = —
va c = p shaklida yozamiz. Bunda m,n,p,k - natural sonlar.
(a + b) + c = (— n
+ K) + n