Axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalarni rivojlantirish vazirligi muhammad al xorazmiy nomidagi

Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari  Ikki o’lchovlik t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi F x y( , ): 1. uzluksiz bo’lsa; 2. har bir argumenti bo’yicha differensiyallanuvchi; 3. F x yxy^''( , ) ikkinchi tartibli aralash hosila mavjud bo’lsa.  Ikki o‘lchovlik (X,Y) t.m.ning zichlik funksiyasi ^2F x y( , ) '' f x y( , )  F x yxy ( , ) (3.4.1)  x y Tenglik orqali aniqlanadi. (X,Y) t.m.ning G sohaga(23-rasm) tushishi ehtimolligi (3.3.4) formulaga ko’ra: P x{  X  x x y, Y  y  y} F x yx^'( ,  y) F x yx^'( , ) limx0 fo'rtacha  limy0 , y0 y ya‘ni f x y( , )  F x yx' ( , )'y  Fxy'' (x y, ) . 23-rasm. Demak, (X,Y) ikki o’lchovli tasodifiy vektorning zichlik funksiyasi deb, P x{  X  xdx y, Y  y dy} f x y dxdy( , ) (3.4.2) tenglikni qanoatlantiruvchi funksiya ekan. f x y( , ) zichlik funkiyasi quyidagi xossalarga ega: f x y( , )  0. P X Y{( , ) D}  f x y dxdy( , ) . (3.4.3) D x y F x y( , )    f u v dudv( , ) . (3.4.4)     f x y dxdy( , ) 1.  X va Y t.m.larning bir o’lchovlik zichlik funksiyalarini quyidagi tengliklar yordamida topish mumkin:    f x y dy( , )  fX ( )x ^; f x y dx( , )  fY ( )y . (3.4.5)   Isboti. 1. Bu xossa F x y( , ) funksiyaning har qaysi argumenti bo’yicha kamaymaydigan funksiya ekanligidan kelib chiqadi. f x y dxdy( , ) ifoda (X,Y) tasodifiy nuqtaning tomonlari dx va dy bo’lgan to’g’ri to’rtburchakka tushish ehtimolligini bildiragi. D sohani to’g’ri to’rtburchaklarga ajratamiz(24-rasm) va har biri uchun (3.4.2) formulani qo’llaymiz: n P{(X Y, )D}  f x y( i, i ) x y bo’ladi. i1 Endi x 0, y 0 da limitga o’tib, P X Y{( , ) D}  f x y dxdy( , ) ni hosil D qilamiz. 24-rasm. (3.4.3) formuladan: x y F x y( , )  P X{  x Y,  y} P{  X  x, Y  y}   f u v dudv( , ) .  F(  , ) 1 va (3.4.4) formulada x y  deb olsak(limit ma‘nosida),  F(  , )   f x y dxdy( , ) 1.  Avval X va Y t.m.larning taqsimot funksiyalarini topamiz: x  x    FX ( )x  F x( , )   f u v dudv( , )    f u y dy du( , )  ,     (3.4.5)  y y    F yY( )  F(, )y    f u v dudv( , )    f x v dx dv( , )  .     Birinchi tenglikni x bo’yicha, ikkinchisini y bo’yicha differensiyallasak, X av Y t.m.larnin zichlik funksiyalarini hosil qilamiz:  fX ( )x  FX^'( )x   f x y dy( , )  va  fY( )y  F yY^'( )   f x y dx( , ) .  ■ Izoh. Agar X va Y t.m.larning alohida zichlik funksiyalari berilgan bo’lsa, (umumiy holda) ularning birgalikdagi zichlik funksiyalarini topish mumkin emas. 3.3-misol. (X,Y) ikki o’lchovli t.m.ning birgalidagi zichlik funksiyasi berilgan Ce^- -^x y, agar x  0, y  0 f x y( , )  0, aks holda. Quyidagilarni toping: 1) O’zgarmas son C; 2) F x y( , ); 3) FX ( )x va FY ( )y ; 4) fX ( )x va fY ( )y ; 5) P X{  0,Y 1}.    f x y dxdy( , ) 1 tenglikdan     C e^^^x ydxdy C e dx e dy C  ^^x  ^^y 1. 0 0 0 0 x y x y F x y( , )  e^^^u vdudv e du e dv^^u ^^v (1e^^x)(1e^^y^), x 0, y 0, 0 0 0 0 ya‘ni (1e^^x)(1e^^y), x  0, y  0, F x y( , )   0, aks holda. x  x  ^^^u v 1e du^^u 1 e^^x, x 0, demak FX ( )x  F x( , )   e e dv du  0  0  0 (1e^^x), x  0, FX ( )x   0, x  0. Aynan shunday, (1e^^y), y  0, F xY ( )   0, y  0. (1 fX ( )x  FX' ( )x   ex )'x, x  0,  ex, x  0, 0, x  0, 0, x  0, va shu kabi e^^y, y  0, fY ( )y   0, y  0.  1  P X{  0,Y  1} e dx e dy  0 ^^x0 ^^y(e^^11)0e dx^^x  1 1e 0.63.