KO’P O’LCHOVLI NORMAL QONUN
REJA:
Bir o’lchovli normal qonun
Ko’p o’lchovli normal qonun
Ikki o‘lchovlik uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi va uning xossalari
Bir o’lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo’lgan qiymarlari 2 ta, 3 ta, ..., n ta son bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o’rganish zarurati tug’iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o’lchovli, uch o’lchovli, … , n o’lchovli deb ataladi.
Faraz qilaylik, (, A, P) ehtimollik fazosida aniqlangan X X1, 2,..., Xn t.m.lar berilgan bo’lsin.
X (X X1, 2,..., Xn ) vektorga tasodifiy vektor yoki n-o’lchovli t.m. deyiladi.
Ko’p o’lchovli t.m. har bir elementar hodisa ga n ta X X1, 2,..., Xn t.m.larning qabul qiladigan qiymatlarini mos qo’yadi.
FX1,X2,...,Xn (x x1, 2,...,xn ) P X{ 1 x X1, 2 x2,..., X n xn} n o’lchovli funksiya X (X X1, 2,..., Xn ) tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki X X1, 2,..., Xn t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.
Qulaylik uchun FX1,X2 ,...,Xn (x x1, 2 ,..., xn ) taqsimot funksiyani
X X1, 2,..., Xn indekslarini tushirib qoldirib, F x x( 1, 2 ,...,xn) ko’rinishida yozamiz.
F x x( 1, 2 ,...,xn) funksiya X (X1, X 2 ,..., Xn ) tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi bo’lsin. Ko’p o’lchovli F x x( 1, 2 ,..., xn) taqsimot funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
xi : 0 F x x( 1, 2 ,...,xn ) 1, ya‘ni taqsimot funksiya chegaralangan.
F x x( 1, 2 ,...,xn) funksiya har qaysi argumenti bo’yicha kamayuvchi emas va chapdan uzluksiz.
Agar biror xi bo’lsa, u holda
lim F x x( 1, 2,...,xn) F x( 1,...,xi1,,xi1,...,xn) xi
(3.1.1)
FX1,...,Xi1,Xi1,...,Xn (x1,..., xi1, xi1,...,xn)
Agar biror xi bo’lsa, u holda lim F x x( 1, 2,...,xn) 0.
xi
3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (3.1.1) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. X (X1, X 2 ,..., Xn ) tasodifiy vektorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni
n
k Cn1 Cn2 ...Cnn1 Cnm Cn0 Cnn 2n 2 ga tengdir.
n0
Masalan, X (X X1, 2 ) (n=2) ikki o’lchovlik tasodifiy vektorning marginal taqsimot funksiyalari soni k 22 2 2 ta bo’lib, ular quyidagilardir: F x( 1, ) F x1( 1) P X( 1 x1);
F(,x2 ) F x2 ( 2 ) P X( 2 x2 ) .
Soddalik uchun n=2 bo’lgan holda, ya‘ni (X,Y) ikki o’lchovlik tasodifiy vector bo’lgan holni ko’rish bilan cheklanamiz.
(X,Y) ikki o’lchovli t.m. taqsimot qonunini
pij P X{ x Yi, yj}; i 1, ,n j 1,m (3.2.1)
formula yordamida yoki quyidagi jadval ko’rinishida berish mumkin:
bu yerda barcha pij ehtimolliklar yig’indisi birga teng, chunki
{X x Yi, yj} i 1, ,n j 1,m birgalikda bo’lmagan hodisalar to’la gruppani
n m
tashkil etadi pij 1. (3.2.1) formula ikki o’lchovli diskret t.m.ning
i1 j1
taqsimot qonuni, (3.2.2) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi. (X,Y) ikki o’lchovli diskret t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan bo’lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin. Har bir i 1,n uchun {X x Yi , y1},{X x Yi , y2},...,{X x Yi, ym} hodisalar birgalikda bo’lmagani sababli: pxi P X x{ i} pi1 pi2 ... pim . Demak,
m n
pxi P X{ xi} pij , i 1,n, pyj P Y y{ j} pij j 1,m .
j1 i1
3.1-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko’k shar bo’lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X t.m. va ko’k rangdagi sharlar soni Y t.m. bo’lsin. (X,Y) ikki o’lchovli
t.m.ning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X t.m. qabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y t.m.ning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz:
C22 1 2 1 1 );
p11 P X{ 0,Y 0} C42 6 (yoki 4 3 6 p12 P X{ 0,Y 1} CC4212 62 ; p21 P X{ 1,Y 0} 62 ;
p22 P X{ 1,Y 1} .
(X,Y) vaktorning taqsimot jadvali quyidagicha ko’rinishga ega:
1 2 1 2 1 1
Bu yerdan P X{ 0} , P X{ 1} ;
6 6 2 6 6 2
1 2 1 2 1 1
P Y{ 0} , P Y{ 1} kelib chiqadi. X
6 6 2 6 6 2
va Y t.m.larning alohida taqsimot qonunlari quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
X : 0, 1 Y : 0, 1
12 12 va p : 1 , 1 . p : , 2 2
Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari
Ikki o’lchovli t.m. taqsimot funksiyasini F(x,y) orqali belgilaymiz.
Ikki o‘lcholi (X,Y) t.m.ning taqsimot funksiyasi, x va y sonlarning har bir jufti uchun {X x} va {Y y} hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini aniqlaydigan F(x,y) funksiyasidir: ya‘ni
F x y( , ) P X{ x Y, y}P(X Y. ) ( , ) (x , )y D. (3.3.1)
(3.3.1.) tenglikning geometrik tasviri 21-rasmda keltirilgan.
21-rasm.
(X,Y) ikki o’lchovlik diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagi yig’indi orqali aniqlanadi:
F x y( , ) pij . (3.3.2) x x yi j y
Ikki o’lchovlik t.m. taqsimot funksiyasining xossalari:
F x y( , ) taqsimot funksiya chegaralangan: 0 F x y( , ) 1.
F x y( , ) funksiya har qaysi argumenti bo’yicha kamayuvchi emas: agar x2 x1 bo’lsa, F x y( 2, ) F x y( 1, ) , agar y2 y1 bo’lsa, F x y( , 2) F x y( , 1) .
F x y( , ) funksiyaning biror argumenti bo’lsa(limit ma‘nosida), u holda F x y( , ) funksiya nolga teng, F x( , ) F(, )y F( , ) 0.
Agar F x y( , ) funksiyaning bitta argumenti bo’lsa(limit ma‘nosida), u holda
F x( , ) F1( )x FX ( )x ; F(, )y F2( )y FY ( )y . (3.3.3)
4'. Agar ikkala argumenti bo’lsa(limit ma‘nosida), u holda F( , ) 1.
F x y( , ) funksiya har qaysi argumenti bo’yicha chapdan uzluksiz, ya‘ni x x lim0F x y( , ) F x y( 0, ), y limy 0F x y( , ) F x y( , 0).
0 0
Isboti. 1.F x y( , ) P X{ x Y, y} ehtimollik bo’lgaligi uchun
0 F x y( , ) 1.
(x y, ) argumentlarning birortasini kattalashtirsak, 21-rasmda bo’yalgan D soha kattalashadi, demak bu sohaga (X,Y) tasodifiy nuqtaning tushishi ehtimolligi kamaymaydi.
{X },{Y } hodisalar va ularning ko’paytmasi mumkin bo’lmagan hodisalardir. Demak, bu hodisalarning ehtimolligi nolga teng. 4. {X } muqarrar hodisa bo’lgani uchun {X } {Y y}{Y y} bo’ladi. Demak, F(, )y P X{ ;Y y} P Y{ y} FY ( )y . Xuddi shunday F x( , ) P X{ x Y; } P X{ x} FX ( )x .
4'. {X } va {Y } hodisalar muqarrar hodisalar bo’lganligi uchun {X } {Y } ham muqarrar hodisa bo’ladi va bu hodisaning ehtimolligi 1 ga teng. ■
F x y( , ) taqsimot funksiya yordamida (X,Y) t.m. biror
D {(x y, ): x1 x x y2, 1 y y2} sohaga tushishi ehtimolligini topish mumkin:
P X Y{( , )D} P x{ 1 X x y2 , 1 Y y2}
(3.3.4) F x y( 2 , 2 ) F x y( 1, 2 )F x y( 2 , 1) F x y( 1, 1).
22-rasmda (3.3.4) tenglikning geometrik isboti keltirilgan.
22-rasm.
3.2-misol. 3.1-misoldagi (X,Y) ikki o’lchovlik t.m.ning hamda X va Y
t.m.larning taqsimot funksiyalarini toping. Avvalgi bobdagi (2.3.2) formuladan:
0, agar x 0, 0, agar y 0,
F x1( ) 0.5, agar 0 x 1, F y2 ( ) 0.5, agar 0 y 1,
1, agar x 1, 1, agar y 1.
(X,Y) ikki o’lchovlik t.m.ning F x y( , ) taqsimot funksiyasini (3.3.2) formulaga ko’ra topamiz:
|
