Axborotni himoyalashning kriptografik usullari

Elliptik egri Diffie-Hellman ( ECDH ) - bu har biri elliptik egri chiziqli umumiy-xususiy kalit juftligiga ega bo'lgan ikki tomonga xavfsiz bo'lmagan kanal orqali umumiy sirni o'rnatish imkonini beruvchi asosiy kelishuv protokoli .  Bu umumiy sir toʻgʻridan-toʻgʻri kalit sifatida yoki boshqa kalit olish uchun ishlatilishi mumkin . Kalit yoki olingan kalit keyinchalik simmetrik kalitli shifr yordamida keyingi aloqalarni shifrlash uchun ishlatilishi mumkin . Bu elliptik egri kriptografiyadan foydalangan holda Diffie-Hellman protokolining bir variantidir .

8. 
   Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik algoritmlarda kalitlarni hosil qilish.
   

Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik algoritmlarda kalitlarni hosil qilish. Axborotni kriptografik himoyalash usullari bugungi kunning dolzarb masalalaridan biri hisoblanadi. Shuning uchun bardoshli kriptografik algoritmlar ishlab chiqish, ularni amalga ishlari keng miqyosda davom etmoqda. Elliptik kriptotizimlarda axborotni himoya qilishning maxsus vositalarini ishlab chiqishning hozirgi bosqichida, asosan, elliptik egri chiziqning nuqtalari ko‘rinishida ma'lumotlarning tasviri qo‘llaniladi. Elliptik egri chziqlar deb + ko’rinishidagi Veyshtrass tenglamasi orqali aniqlanuvchi egri chiziqqa aytiladi. Elliptik egri chiziqlarning kanonik ko‘rinishi hisoblangan ushbu tenglama bilan ish ko’rilad .

Elliptik egri chiziqlar ustida quyidagi amallarni bajariladi:
-Chekli maydonda elliptik egri chiziqni hosil qilish.
Bunda shart bajarilishi kerak.
- Elliptik egri chiziqlar ratsional nuqtalarni aniqlash.
- Elliptik egri chiziqlar nuqtalarni qo‘shish.
Elliptik egri chiziqlarga asoslangan ochiq kalitli shifrlash algoritmlari kalitlarni hosil qilish, xabarni shifrlash va xabarni deshifrlash jarayonlaridan iborat. Ushbu amallar barcha ochiq kalitli kriptografik algoritmlarda mavjud. Faqat ularni tashkil etgan matematik funksiyalarga asosan turli xil algebraik amallar bajariladi. Elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptografik algoritmlarda kalitlarni hosil qilish uchun chekli maydonda elliptik egri chiziqni qurish kerak.
Misol tariqasida maydonda parametrli elleptik egri chiziqni hosil qilamiz. Bunda shartni tekshiramiz, shart bajarildi. Hosil qilingan elliptik egri chiziq elliptik chiziq quriladi.
Kalitlarni hosil qilishning keyingi qadamida berilgan chekli maydondagi elliptik egri chiziqning ratsional nuqtalari hisoblanadi.
Ratsional nuqtalarni aniqlashning ikki xil usuli mavjud.
Birinchi usulida ko’phadning berilgan parametrlarida mos qiymatlari hisoblab chiqiladi. qiymat hisoblanadi. Berilgan qiymatlar ning butun qiymatlariga mos ning qiymatlari ratsional nuqtalar to’plami tanlab olinadi.Misol uchun
elliptik chiziqning ratsional nuqtalarini hisoblaymiz . Tenglamaga mos qiymaylarni berib hisoblab chiqamiz. Buni jadval ko’rinishida ifodalaymiz.

9	756	16	4
20	8049	20	4,47213595
21	9312	25	5
26	17637	25	5
27	19746	25	5
28	22017	2	1,414213562
37	50736	9	3

Jadvaldan berilgan ning butun qiymatlariga mos
ning qiymatlarini olib ratsional nuqtalarini hisoblaymiz. tenglamaning ratsional nuqtalar to’plami: (9,4) , (21,5), (26,5),(27,5), (37,3). Lekin ushbu usul bo’yicha berigan tenglamaning barcha ratsional nuqtalarini aniqlab bo’lmaydi.
Berilgan parameyrdagi elliptik egri chiziqlarning ratsional aniqlashning 2-usuli
bu maydonda qiymatlarini hisoblash va o’zaro qiymatlari teng kelgan ratsional nuqtalarni tanlab olish kerak.

5	25	25	18
1	30	1	7
21	32	34	24
7	25	12	18
25	12	33	29
4	28	16	35
…..	…	….	…..

Natijada quyidagi barcha ratsional nuqtalarga ega bo’lamiz.
{(5,25), (1,30), (21,32), (7,25), (25,12), (4,28), (… , …), (…,…),}
Ushbu berilgan nuqtalar orqali elliptik egri chiziqqa asoslangan kriptografik algoritmlarning kalitlarini hosil qilishimiz mumkin. Elliptik egri chiziqlarning ratsional nuqtalarini aniqlashning 2 xil usulini ko‘rib chiqdik. Ratsional nuqtalarni aniqlashning tenglamalar ko’rinishdagi birinchi usulida barcha nuqtalarni aniqlashni inkon mavjud emas va qadamlab hisoblash uzoq vaqt talab qiladi. Ratsional nuqtalarni aniqlashning va qiymatlarini hisoblagan holda aniqlash usuli esa, nisbatan aniqroq va tezkor usul hisoblanadi. Bu usul orqali elliptik egri chiziqning barcha ratsional nuqtalarini aniqlash mumkin. Xulosa qilib
Aytadigan bo’lsak , Ratsional nuqtalarni aniqlashning va qiymatlarini hisoblagan holda aniqlash usuli samarali va tezkor usul hisoblanadi.
Elliptik egri chiziqlar nuqtalarni qo‘shish
Biz quyidagi, elliptik egri chiziqda , nuqtalar mavjudligini bilganimiz holda uning boshqa ratsional koordinatali nuqtalarini aniqlaylik. Buning uchun, bu nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazaylik. U holda, o’tkazilgan chiziq, egri chiziqni uchinchi nuqtada kesib o’tadi. Bu nuqta o’qiga simmetrik ko’chiriladi va hosil bo‘lgan nuqta, va nuqtalarning elliptik egri chiziq ustida yig‘indisi deb e’lon qilamiz:

9. 
   Elliptik egri kriptografiyaning afzalliklari
   

Elliptik e'gri kriptografiya (ECC), g'ayri-muayyan sonli juftliklarni ishlatishni boshqa kriptografiya usullariga qaraganda, bir qancha afzalliklarga ega. Quyidagi afzalliklari ECC'ni boshqa kriptografiya usullari bilan solishtirishga imkon beradi:
Xavfsizlik darajası: ECC, teng o'lchamdagi dastlabki javob olishni qiyosiy ravishda qisqa bit uzunligi bilan ta'minlaydi. Bu, qo'shimcha xavfsizlikni yuqori darajada ta'minlayadi va yadrosiz qilishni osonlashtiradi.
O'zgarishmaydigan o'lcham: ECC'da ishlatiladigan elliptik e'grilar o'lchamlarini ozgina o'sishib ketadi. Bu, ECC-ni boshqa kriptografiya usullaridan yaxshi tan olishda yordam beradi. So'z bir gap olib qo'ya olishi mumkin, lekin bu ECC'ni moliyaviy maqsadlar uchun eng samarali kriptografiya usuli qiladi.
Yuqori foydalanuvchi sonlari: ECC yorliq algoritmlari osonlik va samarali hisoblashni ta'minlaydi, shuningdek yuqori foydalanuvchi sonlari bilan ishlashga imkon beradi. Bu, IoT qurilmalari, mobil qurilmalar va boshqa energetik ziddiyatli texnikalarni qo'llab-quvvatlash uchun qulayliklar yaratadi.
Yulduzlararo aloqalar uchun ideal: ECC, yulduzlararo aloqalarni maxfiy va xavfsiz qilishda qulayliklar yaratadi. Uzluksiz aloqada xavfsizlik ko'rsatishni talab qiladi, va ECC bu talablarni bajarish uchun eng yaxshi usulni taklif qiladi.
Maxfiylik va xavfsizlik: ECC, maxfiylik (private key) va ochiq kalit (public key) orasida maxfiylikni ta'minlash uchun qulayliklar yaratadi. Uzluksiz maxfiylik tahlilining qiyosiy ravishda qisqa uzunliklar bilan ishlab chiqilishi mumkin, bu esa o'z xavfsizlikni ta'minlashda kengaygan imkoniyatlar yaratadi.
Elliptik e'gri kriptografiya, eng mashhur ravishlardan biri bo'lib, kiberxavfsizlik, maxfiylik, elektron imzo va boshqa texnologik amallar uchun keng qo'llaniladi. Bu afzalliklar ECC ni qulay va samarali kriptografiya usuli qiladi.

10. 
    Elliptik egri kriptografiyaning cheklovlari
    

Elliptik e'gri kriptografiyasi (ECC) bir qancha cheklardan yoki muammolardan ozod qiladi, lekin ulardan ba'zilari quyidagi kabi cheklarga ega bo'ladi:
Kalitlar va maksimal uzunliklar: ECC-da ishlatiladigan kalitlar va xavfsizlik ma'lumotlari o'lchami quyidagicha:
Xavfsizlik darajasi: ECC'ning xavfsizlik darajasi elliptik e'grining parametrlari, kalit uzunligi va boshqa ko'rsatishlarga qarab o'zgaradi. Uzoq kalitlar yuqori xavfsizlikni ta'minlashadi, lekin hisoblash vaqtini oshirishi mumkin.
Aloqa trafikini kuchaytirish: Qisqa kalitlar aloqa trafikini kuchaytirishda samarali bo'ladi, ammo ular boshqa xavfsizlik muammolarini ochib berishi mumkin.
Parametrlar va standartlar: ECC-ni to'liq foydalanish uchun parametrlar, kurullar va standartlar kerak bo'ladi. Bu parametrlar va standartlar qisqa bo'lishi, qo'llashni osonlashtiradi. Biroq, yangi ECC parametrlarini ishlatishdan oldin ularni tekshirish va tasdiqlash muhimdir.
Tasdiqlangan usullar: ECC parametrlari, tasdiqlangan kriptoanaliz usullari (kriptoanalitik) bilan tekshirilishi kerak. Bu usullar ECC sistemalarining xavfsizlik darajasini aniqlashda va yomonliklarni aniqlashda yordam beradi.
Optimal parametrlar: ECC-ni yaxshi samarali ishlatish uchun optimal parametrlar va kalitlar tanlanishi muhimdir. Bu, kriptoanaliz usullarini qo'lobga olish va samarali xavfsizlikni ta'minlash uchun keng imkoniyatlar yaratadi.
Yopishmaydigan yiriklari qo'llash: ECC parametrlari va kalitlar hisoblash, uzun vaqt talab qiladi. Bu parametrlarni va kalitlarni xavfsiz saqlash va ularga yuridik himoya berish, yopishmaydigan cheklovlarni hal qilishda muhimdir.
Cheklar va muammolar ECC'ni to'liq ishlatish va maxfiylik ma'lumotlarini xavfsiz saqlashda muhimdir. ECC standartlari va usullari kripto-jamiyatlar va ushbu texnologiyalardan foydalanadigan boshqa sohalar uchun ishlatilishi kerak bo'lgan cheklar bilan yaxshi ishlaydi.

11. 
    Xulosa
    

Eliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptotizimlar xavfsiz aloqa va ma'lumotlarni shifrlash uchun elliptik egri chiziqlarning matematik xususiyatlaridan foydalanadigan kriptografik algoritm turidir.
Eliptik egri chiziqlar ma'lum tenglamalar bilan aniqlangan matematik tuzilmalar bo'lib, ular kriptografiya uchun mos bo'lgan noyob xususiyatlarga ega. Bu egri chiziqlar guruhli tuzilishga ega, ya’ni egri chiziqdagi nuqtalarda qo‘shish va ko‘paytirish kabi matematik amallarni bajarish mumkin.
Eliptik egri chiziq kriptografiyasida (ECC) tizim xavfsizligi elliptik egri chiziqlar bilan bog'liq ayrim matematik muammolarni echish qiyinligiga tayanadi. Bunday muammolardan biri elliptik egri chiziqli diskret logarifm muammosi (ECDLP) bo'lib, u egri chiziqdagi ma'lum nuqtaga ko'paytirilsa, boshqa berilgan nuqtaga olib keladigan darajani topishni o'z ichiga oladi. Bu muammoni hal qilish, hatto kuchli kompyuterlar uchun ham hisoblab bo'lmaydi, deb ishoniladi.
Kriptografiyada elliptik egri chiziqlardan foydalanish an'anaviy kriptotizimlarga nisbatan bir qancha afzalliklarga ega. ECC RSA kabi boshqa algoritmlarga qaraganda qisqaroq kalit uzunligi bilan yuqori darajadagi xavfsizlikni ta'minlaydi. Bu ECCni hisoblash resurslari va saqlash talablari nuqtai nazaridan samaraliroq qiladi. Bundan tashqari, ECC kvant kompyuterlari hujumlariga chidamli bo‘lib, uni kelajakdagi kriptografik tizimlar uchun istiqbolli tanlovga aylantiradi.
Eliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptotizimlar turli sohalarda, jumladan xavfsiz aloqa protokollari, raqamli imzolar, kalit almashish protokollari va maʼlumotlarni xavfsiz saqlashda ilovalarni topadi. Ular zamonaviy kriptografik protokollar va standartlarda keng qo'llaniladi, masalan, Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH) kalit almashinuvi va Elliptic Curve Digital Signature Algoritm (ECDSA).
Umuman olganda, elliptik egri chiziqlarga asoslangan kriptotizimlar kuchli xavfsizlik, samaradorlik va ko'p qirralilikni taklif etadi, bu ularni zamonaviy kriptografiyaning asosiy komponentiga aylantiradi.