Azərbaycan Respublikası Elm vəTəhsil Nazirliyi Azərbaycan Texniki Universiteti

2.2.2Xətti proqramlaşdırma məsələsini həll etməli.

x-tələbənin qeydiyyat jurnalındakı sıra nömrəsidir.

Sement hazırlanması üçün 3 növ xammaldan istifadə olunur. İki növ sement istehsalı üçün xammal ehtiyatı məlum olub uyğun olaraq 264+4x, 136+4x və 266+4x t təşkil edir. Birinci növ vahid sement istehsalı üçün xammal sərfi uyğun olaraq 12,4 və 3 , ikinci növ vahid sement istehsalı üçün isə uyğun olaraq 3,5 və 14-dür. Birinci növ sementin realizasiyasından alınan gəlir 6 pul vahidi , ikinci növ sementin realizasiyasından alınan gəlir isə 4 pul vahididir. Maksimum gəliri təmin edən istehsal planı tərtib etməli: 
a) riyazi modeli qurmalı;
b) məsələni qrafik üsulla həll etməli; 
c) məsələni Simpleks üsulla həll etməli; 
d) məsələni Matlab sistemində həll etməli;
Həlli: 
a) riyazi model;
x₁ – birinci növ sement istehsalı;
x₂ – ikinci növ sement istehsalı;
12x₁ +3x₂ ≤300
4x₁ +5x₂ ≤172
3x₁ +14x₂ ≤302
x₁ ≥0,x₂ ≥0 
Məqsəd funksiyası:
6x₁ +4x₂ →max
b) məsələni qrafik üsulla həll edək; 
F = 6X₁+4X₂ => max, məqsəd funksiyasının aşağıdakı məhdudiyyətlər daxilində maksimumunu tapmaq tələb olunur: 
12x₁+3x₂≤300(1) 
4x₁+5x₂≤172(2) 
3x₁+14x₂≤302 (3)

14
Mümkün həllər çoxluğunu quraq. Başqa sözlə bərabərsizliklər sistemini qrafik olaraq həll edək.
Bunun üçün hər bir düz xətti quraq və bərabərsizliklərlə verilən yarımmüstəviləri quraq. (şəkildə yarımmüstəvilər ştrixlənmişdir). 

Həllə uyğun gələn çoxbucaqlının təpələrini(ABCD) işarələyək. 

15


F(x) = const düz xətti qeyd olunmuş oblastı D nöqtəsində kəsir. D nöqtəsi isə 1 və 3 düz xətlərinin kəsişməsindən alındığından nöqtənin koordinatları aşağıdakı tənliklər sistemini ödəməlidir:
12x₁+3x₂=300
3x₁+14x₂=314
Tənliklər sistemini həll edərək alarıq: 
x₁ =(300-3x₂)/12 
3*(300-3x₂)/12+14x₂ =302
x₁ =19.8239, x₂ = 16.0377
Buradan isə məqsəd funksiyanın maksimumu:
F(X)=6*19.8239+4*16.0377=196.0942 olar.
Beləliklə maksimal gəlir əldə etmək üçün 19.82 ton birinci növ , 16.03ton isə ikinci növ sementdən istehsal etmək lazımdır. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həndəsi yolla həllini digər bir misal üzərində izah edək.
c)Xətti proqramlaşdırma məsələsini Simpleks üsuldan istifadə edərək həll edək.
F=6x₁+4x₂ → max məqsəd funksiyasının aşağıdakı şərtlər daxilində maksimumunu hesablayaq.
12x₁+3x₂≤300

16
4x₁+5x₂≤172
3x₁+14x₂≤302
x₁≥0 , x₂≥0

Bərabərsizliklər sistemi üçün birinci dayaq həlli tapmaq üçün köməkçi dəyişənlər daxil etməklə sistemi tənliklər sisteminə gətirək(kanonik şəklə keçid).

12x₁ + 3x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 302
4x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 172
3x₁ + 14x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 302
x₃≥0 , x₄≥0 ,x₅≥0
X3=312-12x1-3x2
X4=184-4x1-5x2
X5=314-3x1-14x2
F(x)=6x₁+4x₂+0x₃+0x₄+0x₅
Məqsəd funksiyasından görünür ki, x₁ və x₂ –ni artırdıqda f artır. x₁ dəyişənini artıraq. x₁ dəyişənini o həddə qədər artıra bilərik ki, x₃≥0 , x₄≥0 ,x₅≥0 olsun. Bunun üçün
min =22.3 tapırıq. x₁ və x₃ dəyişənlərinin yerini dəyişək . x₁ ↔ x₃
Əgər x₃ , x₄ ,x₅ ifadəsinə x₁ və ya x₂ müsbət əmsalla daxil olarsa,yuxarıdakı nisbətdə ∞ götürülür.
x₁ = 22.3-0,25x₂ - x₃
x₁ - in bu qiymətini x₃ , x₄ və məqsəd funksiyasında nəzərə alsaq,
x₁ = 22.3-0,25x₂ - x₃
x₄ =184-105.2+x₂+1/3*x3-5x2=82.8-4x2+1/3x3
x₅=314-78.9+0.75x₂+0,25x₃-14x₂=239.1-13.25x₂+0.25x₃
f=157.8+2,5x₂ -0,5x₃ alarıq.
Növbəti dayaq həll olaraq

17
{x₁ =26.3; x₂ =0; x₃ =0; x₄ =82.8; x₅ =239.1} f^* =157.8 alarıq. Aydındır ki, bu həll optimal deyildir.
Belə ki, məqsəd funksiyasında müsbət əmsal vardır. Məqsəd funksiyasına müsbət əmsalla daxil olan x₂ dəyişənini artıraq. x₂ dəyişənini o, həddə qədər artıra bilərik ki, x₁≥0 , x₄≥0 ,x₅≥0 olsun. Bunun üçün
min =18.0377tapırıq. x₂ və x₅ dəyişənlərinin yerini dəyişək . x₂ ↔ x₅
x₂ = 18.0377+1/53 x₃-0.07x₅
x₂ - in bu qiymətini x₁ , x₄ və məqsəd funksiyasında nəzərə alsaq,
x₁ = 26.3-0.25*(18.0377+1/53 x₃-0.07x₅ )- x₃ =26.3-4.51+0.004 x₃-0.01x₅=21.79+0.004 x₃-0.01x₅
x₄ = 82.8-4*(18.0377+1/53 x₃-0.07x₅) +1/3x3=82.8-72.16+4/53x₃-0.28x₅=10.64+4/53x₃-0.28x₅
f=157.8+2,5*(18.0377+1/53 x₃-0.07x₅) -0,5x₃ = 157.8+45.1+0.04 x3-0.175 x₅-0,5x₃=203.09-0.46x₃-0.175x₅ alarıq_.
Beləliklə, növbəti dayaq həll olaraq
{x₁ =21.8239; x₂ =18.0377; x₃ =0; x₄ =10.64; x₅ =0} f^* =203.09alarıq.
Məqsəd funksiyasında bütün əmsallar mənfi işarəli olduğundan ,aldığımız həll optimal olacaqdır. Belə ki,
f^*=6*21.8239+4*18.0377=203.09
d) Məsələni Matlab sistemində həll edək.
M-fayl yaradaq və M fayla aşağıdakı proqram kodlarını daxil edək. Aydındır ki, f(x)= 6x₁+4x₂ məqsəd funksiyasının maksimumu g(x)= -6x₁-4x₂ minimumu ilə üst-üstə düşəcəkdir.

f=[-6;-4]

18
A=[12 3;4 8;3 14]
b=[300;172;302]
lb=zeros(3,1)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
M-faylı yerinə yetirdikdən sonra alarıq:
x =

21.8239
18.0377

fval =

-203.0943

exitflag =

1

19